張延衛（江蘇省宿遷市教育局，223800）
文[1]給出下述代數不等式：已知a,b,c是正數，abc=1.求證：
1)這個代數不等式形式優美，結論簡潔，給人以強烈的美感.但文[1]給出的證明比較繁難,下面筆者給出不等式（1）的乙個簡證，並給出它的乙個加強，最後再給出它的乙個推廣.
1 簡證
不妨設x=,y=,z=,則xyz=1,不等式（1）化為：
x+y+z
因為 (x+y+z) = x+ y+ z+2(yz+zx+xy )≥3(yz+zx+xy )
所以x+y+z+≥x+y+z+
因此我們只要證明下述不等式即可：
x+y+z+≥42)
設t=x+y+z,則t≥3，不等式（2）化為：
t+≥4.
即 t-4t+9≥03)
因為t≥3，所以有
t-4t+9=t(t-3) +(t-3)(2t-3) ≥0
因此不等式（3）成立，即不等式（1）成立.
2 加強
已知a,b,c是正數，abc=1.則：
+++≥54)
證明: 由於不等式（4）是關於a，b,c對稱的，不妨設a為其中最大者，則a≥1,bc≤1.
記f(a,b,c)= +++.
則f(a,b,c)- f(a, ,)=++--
=-=（）[-]
因為bc≤1,a+b+c≥3,a+2≥3,所以有
-≥1-＞0.
因此 f(a,b,c) ≥f(a, ,).
所以我們只要證明下述不等式即可：
++≥55)
設x=,則a=,0＜x≤1.不等式（5）化為
x++≥5
將上式展開,並移項化簡得
2x-10x+11x-5x+2≥06）
因為0＜x≤1，所以
2x-10x+11x-5x+2=（x-1）(2x+4x-4x-x+2)
=（x-1）[2x+x(2x-1) +2（1-x)] ≥0.
因此不等式（6）成立，即不等式（4）成立.
因為a+b+c≥3,所以不等式（4）是不等式（1）的加強.
3 推廣
已知a（i=1,2,3,…,n,n≥2）是正數， =1.則：
+≥n+17)
證明：設x=, i=1,2,3,…,n.則=1，不等式（7）化為：
+≥n+18)
我們可以證明：（）≥n（）.(請讀者自證)
因此我們只要證明下述不等式即可：
+≥n+19)
設t=,易證t≥n.則不等式（9）化為：
t+n≥(n+1)t10)
由算術—幾何平均不等式，可得
+ n≥nt
又因為t≥n，可得≥t.
所以有（+ n）+≥nt+ t=(n+1)t
即不等式（10）成立.
因此，不等式（7）成立，其中等號當且僅當a=1（i=1,2,3,…,n）的時候成立.
4 問題
我們要問：當正數λ取什麼最大值時，下述不等式成立：
已知a（i=1,2,3,…,n,n≥2）是正數， =1.則：
+≥n11)
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