第２３卷第１期
．湖南理工學院學報（自然科學版）
年３月ｍａｌ ２０１０
關於一幾何凸函式的不等式初探
吳光耀（衙州高階中學，浙江衢州３２４００６）
摘要：定義了一類新的幾何凸函式一一幾何凸函式，並用反向數字歸納法建立了這類幾何凸函式的基本不等式，
從而統一推行了一系列已知不等式，包括一些著名不等式．
關鍵詞：幾何凸函式；幾何凸函式；不等式；高維推廣．中圖分類號：ｏ１７８
文獻標識碼：ａ
文章編號
眾所周知，凸函式是乙個重要的數學概念，在不等式研究中，凸函式所發揮的作用是無可替代的【ｊｊ，模擬凸函式的概念，文［３］中提出了如下幾何凸函式的概念：
設廠 ）在區間ｄ（ｒ ）上有定義，如果對於任意的 ｌ，ｘ２∈ｄ和ｔｅ（０，１），都有
／（）≤ｔｆ（）＋（１一ｔ）ｆ（ｘ２）
（１）則說廠 ）在ｄ上是幾何凸函式，如果（１）中不等號反向，則說）在ｄ上是幾何凹函式．並建立了幾何凸
函式的一系列不等式，文【４】作了更廣泛的研究，文［５］提出了ｆ＿幾何凸函式的概念，從中可以看出幾何凸函式在不等式研究中具有重要的作用．本文提出更一般的 ．幾何凸函式概念．
１ｌ幾何凸函式的定義
為方便計，引入下列記號為【ａｆ，ｂｉ】，或（口ｆ，６ｆ），或無窮區間
≥１）．若 ＝ｒ＋＝【０，枷則記作 ：．
對於兀 ）表示維向量：ｌｉ
兀￣砌ｐｉ）．
定義設廠（）是定義在ｄ（ｃ）上的連續函式，若對任意的和常向量ｌ，都有
∈ｄ，且
（（２）
則稱ｆ（ｘ）是上的ｌ一幾何凸函式；如果（２）中的不等式反向，則稱廠（）是上的 ～幾何凹函式．
當 ＝ 時，定義中相應的函式 （）稱為中點ｌ一幾何凸（凹）函式．這裡ｍ＝１時定義給出的就是文［５］提出的，一幾何凸函式．
收稿日期
作者簡介：吳光耀（１９６０一），男，浙江東陽人，浙江衙州高階中學高階教師．主要研究方向：解析不等式
湖南理工學院學報（自然科學版）第２３卷
２關於一幾何凸函式的不等式
定理１謝㈣是上的一幾何凸函式，則對任意力有
（兀 ）≤∑ 廠（）．
（３）其中 ＝ ｐ，
ｎ ＝２ｐ
，２＜２，ｐ表示滿足２ ＜ ≤２的整數，常數若（２）中等式成立的條件是２＜
＝ｘ２，則（３）中等式成立的條件是
證明用反向數學歸納法．首先證明時，結論成立．
當 ＝２時，由（２）及其等號成立的條件知結論成立．
假設時，結論成立，即對有
ｚｐｊ（ｘ￣）—一ｚｐ
等式成立當且僅當＝ ＿．．一
．那麼對則有
譬 ≥∑ｐ一≥幾］ｉｌｋ（）。
）］春．（５）
等式成立當且僅當
＝＝…＝
．—ｉｌ
ｔ．』＋１
在（２）中作置換 （ⅱ２ｔ，）ｉ＝則，（
）＝＋－－￣ｘ２，２ｋ
）（兀兀
缶， ＋｝
， ＋ｌ
（ｚｐ「（ｎ ）舌］．
（６）士
＿＝等式成立當且僅當
綜合得ｚｐｉ
ｆ（ｘ，）—
≥（芝 ）＋（前 ）１］．（７）
∑ｐ等式成立當且僅當ｘ１＝：…：，且
：＝…＝
，（ｎ ）１苫＝（ｎ ），州＝２：ｋ＋ｔ．
由此可得（７）中等式成立當且僅當因此對，ｚ＝２¨（足∈ｎ）結論也成立．
第１期吳光耀：關於三．幾何凸函式的不等式初探
可見，對結論恆成立，當２ ＜ｎ＜２ 時，令一ｘ２，：
），並注意到 ｐ，：ｌ，可得＝＋
＋：＝…＝，＝
ⅱ ，兀ｎ，
）：∑ｐ∑去扭（扛ｆ．
：＝．＝
善＋ｌ則ｐ，２ｎ＝２＜ｐ，常數代人（３）式得
兀３，ｅ［０，１］，都有
（８）故（３）式成立．這就證明了不等式（３）對 ≥２恆成立．．
當ｍ＝ｌ時，定理１即加權算術一幾何平均不等式．
推論１設ｇ（）（∈）是正值函式，若對任意的 、∈
ｇ （ｘｉ）ｇ卜 （ ）≥ｇ（ｌ
１一），
等式成立當且僅當 ＝ｘ２．那麼對任意的有
等式成立當且僅當其它未說明的符號意義同定理１）．
證明在定理１中令變形即得（８）、（９）．定理１還可以改寫成如下的均值型函式不等式形式：
（９）定理２設廠（）的定義域為若對任意的都有
一 ）（，，…，）≥廠
等式成立的條件是 ＝ ，則對於有
），（１０）
（）≥ （ｈ靖，ｎ磋，…，兀 ）．
等式成立當且僅當置＝ 一一 ．
（１１）
推論２（乘積型函式不等式）設ｇ（）是定義在ｍ上的正值函式若對任意的
、∈，∈［０，１］，都有
卜一２，），（１２）
等式成立當且僅當墨＝．那麼對於五有
靖，兀瑤，…，兀 ｐｉ）．（１３）
１６湖南理工學院學報（自然科學版）第２３卷
等式成立當且僅當 ＝ｘ２～一 ．
證明在定理２中令即可得證．
注乘積型函式不等式中ｇ（ｘ）為正值函式的條件不可少，否則結論不一定成立．這是因為ｇ（）＜０時，一ｇ（ｘ）＞０，用一ｇ（ｘ）替換推論２中的ｇ（），（１２）式不變，當ｎ為奇數時（１３）式不等號反向．
定理３（算術型函式不等式）設正值函式ｆ（ａ３的定義域為，∈［０，１】，若對任意的 、∈，都有一
十 】（１４）
等式成立當且僅當 ＝ｘ２，則對於門有
ｆ＝ｌ誓 ＋ ）
（１５）
＝ｌｉ＝１
ｌｌｉ １
證明在定理２中令即可．
定理４（方冪型函式不等式）設非負函式ｆ的定義域為酞？，
若對任意的 、∈ ：，都有ｌ［廠
上上上（＋（１一＋ｆ１）嘶，（礴＋（１一堙一 ）＋ ）】．
（１６）
等式成立當且僅當 ＝ｘ２，則對於有
ｆ＝ｌｈ１ｉ
ｈ】＂１
啦甜）］．
（１７）
等式成立的條件是 ： ＿．．一 ．
證明在定理３中，令即可．定理４的結果是多姿多彩的，如取則
①當 ＝１時，可得丹麥數學家於１９０５年證明的著名的ｊｅｎｓｅｎ不等式；②當 ＝一１時，可得調和型函式不等式；
③當 ＝尼，（尼∈ｎ，ｋ≥１）時，可得乘方型函式不等式；
④當時，可得根式型函式不等式．
參考文獻
不等式【ｍ】．越民義，譯．北京：科學出版社分析不等式［ｍ】．趙漢賓，譯．南寧：廣西人民出版社李世傑．幾何凸函式的若干性質［ｊ］．數學通訊
【４吳善和．幾何凸函式與琴生型不等式［４］ｊ】．數學的實踐與認識
【５】李世傑．對函式幾何凸性若干問題的理論研究［ｊ］．浙江萬里學院學報
［６】匡繼昌．常用不等式［ｍ】．第三版．濟南：山東科學技術出版社，２００４
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