１.設函式f(x)=axn+1+bxn+c(x>0)，其中a+b=0，n為正整數，a，b，c均為常數，曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程為x+y-1=0.
(1)求a，b，c的值.(2)求函式f(x)的最大值.
(3)證明：對任意的x∈(0,+∞)都有nf(x)< .(e為自然對數的底數)
２.已知函式.
(ⅰ)若a=1，求函式h(x)的極值；
(ⅱ)若函式y=h(x)在上單調遞減，求實數a的取值範圍；
(ⅲ)在函式的圖象上是否存在不同的兩點，使線段ａｂ中點的橫座標與直線ａｂ的斜率k之間滿足?若存在，求出；若不存在，請說明理由。
３.設函式. (ⅰ)求函式的單調區間；
(ⅱ)已知（）是函式在的圖象上的任意兩點，且滿足，求a的最大值；
（ⅲ）設,若對於任意給定的,方程在內有兩個不同的實數根，求a的取值範圍。（其中e是自然對數的底數）
４.已知函式 (ⅰ)若函式無極值點，求a的取值範圍；
(ⅱ)設，當a取(ⅰ)中的最大值時，求g(x)的最小值；
（ⅲ）證明不等式：
建構函式常用的兩個重要結論：當時
1．；2．（當時，）．
下面用建構函式法給出兩個結論的證明．
（1）建構函式，則，
所以函式在上單調遞增，．所以，即．
（2）建構函式，則．所以函式在上單調遞增，，所以，即．
要證兩邊取對數，即證
事實上：設則因此得不等式
建構函式下面證明在上恆大於0．
∵∴在上單調遞增，即
∴ ∴
以上兩個重要結論在高考中解答與導數有關的命題有著廣泛的應用．
策略一一元不等式，直接移項作差，建構函式
例１已知定義在正實數集上的函式,其中a>0.設兩曲線有公共點，且在該點處的切線相同。
（１）用a表示b，並求b的最大值；
（２）求證：（x>0）
(練習)試證明：當時，.
策略二一元不等式，先通過放縮、等價變形後，再移項作差，建構函式
例２ 已知函式，證明：對任意的正整數n，當時，有
策略三二元不等式，先定主元，再建構函式,轉化為一元函式定義域上的最值問題
例３ 已知a,b為正數，且a+b=1.求證：
策略四二元不等式，抓住結構特徵，合理變形，再建構函式
例４ 已知，且,求證：.
(練習)已知a,b,且，其中e是自然對數的底，證明：
策略五二元不等式，定主元略從元，以主元為變數，從元為常量，建構函式
例５ 已知函式，設0[課後練習]
1．【09天津·文】10．設函式在r上的導函式為，且，下面的不等式在r上恆成立的是
a． b． c． d．
2．【09遼寧·理】21．（本小題滿分12分）
已知函式，．
（ⅰ）討論函式的單調性；
（ⅱ）證明：若，則對任意，，有．
3．【09全國ⅱ·理】設函式有兩個極值點，且．
（i）求的取值範圍，並討論的單調性；
（ii）證明：．
４．【2023年山東理】 設函式，其中．
（i）當時，判斷函式在定義域上的單調性；
（ii）求函式的極值點；
（iii）證明對任意的正整數，不等式都成立．
５．【2023年湖南理】已知函式．
（i）求函式的單調區間；
（ⅱ）若不等式對任意的都成立（其中是自然對數的底數）．
求的最大值．
６．山東省日照市2009屆高三模擬考試數學理科試題已知，函式．
（ⅰ）試問在定義域上能否是單調函式？請說明理由；
（ⅱ）若在區間上是單調遞增函式，試求實數的取值範圍；
（ⅲ）當時，設數列的前項和為，求證：
建構函式處理與導數有關的不等式問題（練習答案）
1．【09天津·文】【解析】由已知，首先令得，排除b，d．
令，則，
① 當時，有，所以函式單調遞增，
所以當時，，從而．
② 當時，有，所以函式單調遞減，
所以當時，，從而．綜上．故選a．
2．【09遼寧·理】解：（ⅰ）的定義域為．
2分（i）若即，則，故在單調增加．
（ii）若，而，故，
則當時，；
當及時，．故在單調減少，
在單調增加．
（iii）若，即，同理可得在單調減少，在單調增加．
（ii）考慮函式．
則 ．
由於故，即在單調增加，
從而當時有
，即，故，
當時，有12分
３. 【09全國ⅱ·理】【解】（i）由題設知，函式的定義域是
且有兩個不同的根，
故的判別式，
即且 又故．因此的取值範圍是．
當變化時，與的變化情況如下表：
因此在區間和是增函式，在區間是減函式．
（ii）由題設和①知
於是．設函式
則，當時，；
當時，故在區間是增函式．
於是，當時，
因此． www．ks5u．com
４.【2023年山東】（ⅰ）由題意知，的定義域為，
設，其圖象的對稱軸為，
當時，，
即在上恆成立，
當時，，
當時，函式在定義域上單調遞增
（ⅱ）①由（ⅰ）得：當時，函式無極值點
②時，有兩個相同的解，
時，， 時，，
時，函式在上無極值點
③當時，有兩個不同解，，，
時，，，
即，時，，隨的變化情況如下表：
由此表可知：時，有惟一極小值點，
當時，， ，
此時，，隨的變化情況如下表：
由此表可知：時，有乙個極大值和乙個極小值點；
綜上所述：時，有惟一最小值點；
時，有乙個極大值點和乙個極小值點；
時，無極值點
（ⅲ）當時，函式，令函式，
則．當時，，所以函式在上單調遞增，又
時，恒有，即恆成立
故當時，有．
對任意正整數取，則有所以結論成立．
7．解： （ⅰ）函式的定義域是，
設，則令則
當時，在上為增函式，
當x＞0時， 在上為減函式．
所以在處取得極大值，而，所以，
函式在上為減函式．於是當時，
當時，所以，
當時， 在上為增函式．
當時， 在上為減函式．
故函式的單調遞增區間為，單調遞減區間為．
（ⅱ）不等式等價於不等式由知， 設則
由（ⅰ）知，即
所以於是在上為減函式．
故函式在上的最小值為所以a的最大值為
６.山東省日照市2009屆高三模擬考試數學理科試題
（ⅰ）的定義域為，，由得． ……2分
當時，，遞減；
當時，，遞增．
所以不是定義域上的單調函式4分
（ⅱ）若在是單調遞增函式，則恆成立，即恆成立．
6分 即
8分 （ⅲ）當時，由（ⅱ）知，在上為增函式，
又當時，，，即．
令則，當時，
從而函式在上是遞增函式，所以有即得
綜上有10分
12分 令時，不等式也成立，
於是代入，將所得各不等式相加，得
即即14分
利用導數處理與不等式有關的問題
關鍵詞 導數，不等式，單調性，最值 導數是研究函式性質的一種重要工具。例如求函式的單調區間 求最大 小 值 求函式的值域等等。而在處理與不等式有關的綜合性問題時往往需要利用函式的性質 因此，很多時侯可以利用導數作為工具得出函式性質，從而解決不等式問題。下面具體討論導數在解決與不等式有關的問題時的作用...
建構函式證明不等式
唐山電大遷安分校王建榮 函式思想是重要的數學思想,利用函式思想可以解決一類不等式的證明.一構造一次不等式 例1 已知 求證 證明 建構函式 其圖象為一條直線.即二構造二次函式 例2 已知都是正數,求證證明 在 0,1 上的值域為 所以,三構造分式函式 例3 已知都是正數,且.求證 證明 建構函式 設...
變形建構函式證明不等式
1.變形構造新函式，一次 已知函式 試討論在定義域內的單調性 當 1時，證明 求實數的取值範圍 解 函式的定義域為，當時，增區間為，減區間為 當 0時，增區間為 當時，增區間為，減區間為 當 0時，在區間 0,1 上單調遞增，不妨設，則，等價於，即 構造，則 0 在上是增函式，當時，即，即 又當 0...