王海巨集運用構造法證明不等式不但可以巧妙地解決一些難題，而且可以培養學生的數學創造力. 在證明不等式的問題時，通過觀察，抓住問題的特點，巧妙構造數學模型，使問題得以順利解決.
一、建構函式證明不等式
例1 求證sin2x＋≥5
導析：研究函式f(t)=t+，t∈的單調性，當0＜t1＜t2≤1時，f(t1)－f(t2)=(t1－t2)＋(－)=(t1－t2)＋4(t2－t1)·=(t1－t2)()
∵t1－t2＜0，0＜t1t2＜1，t1t2－4＜0
∴f(t1)＞f(t2)
∴f(t)在上是減函式，
∴f(1)是函式f(t)=t+在t∈上的最小值，
∴t+≥f(1)=5 即sin2x＋≥5.
例2 試證≥
證明： ==
設t=則t≥2
令f(t)=t+ 易證當t∈時，f(t)單調遞增（證明略）
∴f(t)min=2＋=
∴≥注：在上述例1和例2中，學生往往易聯絡到不等式「a＋b≥2，a∈r+，b∈r+」，但上述等號只有在a=b時，即例1 sin2x=2，例2 =1時才能取到，這是不可能的. 我們運用構造法把它們轉化為求單調函式的值域，從而使問題輕易得以解決.
構造乙個反映問題特徵的函式，視所證不等式的字母為這個函式的自變數，此外這個函式必須在定義域內是單調函式. 一般地，當x＞0時，f(x)=x+ (m＞0)在x∈上遞減，在上遞增. 例如，f(x)=x＋＋(x＞0)最小值為，而不是2.
二、構造方程證明不等式
例3 求證x∈r，有－≤≤3
證明：令t=tan，由萬能公式得
y==於是(7y－11)t2＋(6y＋2)t＋(3y＋1)=0
∵δ=(6y＋2)2－4(7y－11) (3y＋1)≥0
即3y2－8y－3≤0得－≤y≤3
∴－≤≤3
例4 在δabc中，已知 lgtana＋lgtanc=2lgtanb
求證：≤b＜
證明：由對數的定義可知tanb＞0，故0＜b＜
由題設得tana·tanc=tan2b
又∵a＋b＋c=π
∴tana＋tanc=(1－tana·tanc)tan(a＋c)= (1－tan2b) (－tanb)
以tana,tanc為兩根的(構造)方程為：
x2－(1－tan2b) (－tanb)x＋tan2b=0
因為方程有實根，由判別式可得tan2b≥3
故≤b＜
三、構造幾何圖形證明不等式
例5 求證：若x，y，z∈r+，則＋＞
導析：此題顯然不可能用比較法、綜合法證明，分析法也太複雜，放縮法好象可以試試，但還是失敗了. 考慮到要證明的不等式是乙個對稱式，與餘弦定理的表示式有一定的聯絡，不妨構造δabc，如圖1，在平面內取點o，作線段oa=x，ob=y，oc=z，且使∠aob=∠aoc=∠boc=120o，鏈結ab、bc、ca，則分別在δaob、δaoc、δboc中，由餘弦定理得， =ab， =bc， =ac，顯然在δabc中，兩邊之和大於第三邊，故有＋＞.
例6 已知：f(x)=，a≠b且ab＞0
求證：|f(a)－f(b)|＜|a－b|
證明：如圖2，f(a)=可以表示平面上點a(1，a)到o(0，0)的距離，f(b)=表示點b(1，b)到o(0，0)的距離，而|a－b|表示a(1，a)及b(1，b)兩點間距離.
∵a≠b
∴a、o、b三點組成乙個三角形，由三角形兩邊之差的絕對值小於第三邊，可得|f(a)－f(b)|＜|a－b|.
構造思維方法，啟發我們從多角度去思考問題. 善於應用數學語言構造適當的模型，綜合利用各種知識去處理問題，與已學過的各種數學思維方法相結合，在解決數學問題的時候才能思路開闊，得心應手.
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