一、問題提出
確界存在定理(定理1.1)揭示了實數的連續性和實數的完備性. 與之等價的還有五大命題，這就是以下的定理1.2至定理1.6．
定理1.2 (單調有界定理) 任何單調有界數列必定收斂．
定理1.3 (區間套定理） 設為一區間套：
．則存在唯一一點
定理1.4 (有限覆蓋定理) 設是閉區間的乙個無限開覆蓋，即中每一點都含於中至少乙個開區間內．則在中必存在有限個開區間，它們構成的乙個有限開覆蓋．
定理1.5 (聚點定理) 直線上的任一有界無限點集至少有乙個聚點，即在的任意小鄰域內都含有中無限多個點（本身可以屬於，也可以不屬於）．
定理1.6 (柯西準則) 數列收斂的充要條件是：，只要恒有．（後者又稱為柯西（cauchy）條件，滿足柯西條件的數列又稱為柯西列，或基本列．）
這些定理構成極限理論的基礎．我們不僅要正確理解這六大定理的含義，更重要的還要學會怎樣用它們去證明別的命題．下面通過證明它們之間的等價性，使大家熟悉使用這些理論工具．
下圖中有三種不同的箭頭，其含義如下：
下面來完成(1)～(7)的證明．
二、等價命題證明
(1)（用確界定理證明單調有界定理）
(2)（用單調有界定理證明區間套定理）
(3)（用區間套定理證明確界原理）
*(4)（用區間套定理證明有限覆蓋定理）
*(5)（用有限覆蓋定理證明聚點定理）
*(6)（用聚點定理證明柯西準則）
*(7)（用柯西準則證明單調有界定理）
(1)（用確界定理證明單調有界定理）
〔證畢〕
(返回)
(2)（用單調有界定理證明區間套定理）設區間套．
若另有使 ，則因
．［證畢］
[推論]設為一區間套，．則當時，恒有
．用區間套定理證明其他命題時，最後常會用到這個推論．
(返回)
(3) （用區間套定理證明確界原理） 證明思想：構造乙個區間套，使其公共點即為數集的上確界．
設, 有上界．取；，再令
如此無限進行下去，得一區間套．
可證：因恒為的上界，且，故，必有
，這說明是的上界；又因，故，而都不是的上界，因此更不是的上界．所以成立． ［ 證畢 ］
(返回)
*(4)（用區間套定理證明有限覆蓋定理）設為閉區間的乙個無限開覆蓋．反證法假設：
「不能用中有限個開區間來覆蓋」．
對採用逐次二等分法構造區間套，的選擇法則：取「不能用中有限個開區間來覆蓋」的那一半．
由區間套定理，．
匯出矛盾：使
記由［推論］，當足夠大時，
這表示用中乙個開區間就能覆蓋，與其選擇法則相違背．所以必能用中有限個開區間來覆蓋．［證畢］
［說明］當改為時，或者不是開覆蓋時，有限覆蓋定理的結論不一定成立．
(返回)
*(5)（用有限覆蓋定理證明聚點定理）設為實軸上的有界無限點集，並設．
由反證法假設來構造的乙個無限開覆蓋：若有聚點，則．現反設中任一點都不是的聚點，即在內至多只有．這樣，
就是的乙個無限開覆蓋．
用有限覆蓋定理匯出矛盾：據定理9，存在
為的乙個有限開覆蓋（同時也覆蓋了）．由假設，內至多只有所屬個鄰域內至多只有屬於（即只覆蓋了中有限個點）．這與覆蓋了全部中無限多個點相矛盾．
所以，有界無限點集必定至少有乙個聚點．［證畢］
［推論（緻密性定理）］有界數列必有收斂子列．即若為有界數列，則使有
．子列的極限稱為原數列的乙個極限點，或稱聚點．
(返回)
*(6)（用聚點定理證明柯西準則） 柯西準則的必要性容易由數列收斂的定義直接證得，這裡只證其充分性．
已知條件： 當時．欲證收斂．
．首先證有界．對於當時，有
令，則有
．．由緻密性定理，存在收斂子列，設．
．最後證，由條件，當時，有
．於是當（同時有）時，就有
． ［證畢］
(返回)
*(7)(用柯西準則證明單調有界原理) 設為一遞增且有上界m的數列．用反證法（ 借助柯西準則 ）可以證明：倘若無極限，則可找到乙個子列以為廣義極限，從而與有上界相矛盾．現在來構造這樣的．
對於單調數列，柯西條件可改述為：「 當時，滿足 」．這是因為它同時保證了對一切，恒有
．倘若不收斂，由上述柯西條件的否定陳述：，對一切，，使
．依次取
把它們相加,得到
．故當時，可使，矛盾．所以單調有界數列必定有極限． [ 證畢 ]
在以上六個等價命題中，最便於推廣至中點集的，當屬聚點定理與有限覆蓋定理．為加深對聚點概念的認識，下例所討論的問題是很有意義的．
[例]證明「是點集的聚點」的以下三個定義互相等價：
(i) 內含有中無限多個點(原始定義)；
(ii) 在內含有中至少乙個點；
(iii) ，時，使．
證：(i)(ii) 顯然成立．
(ii)(iii) 由(ii），取，；
再取；……
一般取；
……由的取法，保證，，．
(iii)(i)時，必有，且因各項互不相同，故內含有中無限多個點．[證畢]
實數集的完備性的基本定理閉區間上連續函式性質的證明
第七章實數的完備性 1 關於實數集完備性的基本定理 一 教學目的 理解區間套定理,聚點定理,緻密性定理,有限覆蓋定理的條件和結論.理解這些定理的含意及關係,了解各定理的證明思路 二 教學內容 區間套定理 柯西判別準則的證明 聚點定理 有限覆蓋定理 三 基本要求 1 掌握和運用區間套定理 緻密性定理 ...
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