三角形的性質與判定：
證明方法：綜合法、反證法
綜合法：①審題：找出已知、求證的各量之間的關係；②分析解題思路：一般採用逆向思考，即從結論入手，追溯結論成立的理由。③書寫推理過程，從已知入手，將分析過程倒著寫出來
推論兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等。（aas）
證明過程：
已知：∠a=∠d,∠b=∠e,bc=ef
求證：△abc≌△def
證明：∵∠a+∠b+∠c=180°，
∠d+∠e+∠f=180°
（三角形內角和等於180°）
∴∠c=180°-(∠a+∠b)
∠f=180°-(∠d+∠e)
又∵∠a=∠d,∠b=∠e（已知）
∴∠c=∠f
又∵bc=ef（已知）
∴△abc≌△def（asa）
定理：等腰三角形的兩個底角相等。
這一定理可以簡單敘述為：等邊對等角。
已知：如圖，在abc中，ab＝ac。
求證：∠b＝∠c
證明：取bc的中點d，連線ad。
∵ab＝ac，bd＝cd，ad＝ad，
∴△abc△≌△acd (sss)
∴∠b=∠c (全等三角形的對應邊角相等)
下面是幾種結論：
（1）等腰三角形兩底角平分線相等。
（2）等腰三角形兩腰上的中線、高線相等。
（3）等腰三角形底邊上的高上任一點到兩腰的距離相等。
（4）等腰三角形兩底邊上的中點到兩腰的距離相等。
（5）等腰三角形兩底角平分線，兩腰上的中線，兩腰上的高的交點到兩腰的距離相等，到底邊兩端上的距離相等。
（6）等腰三角形頂點到兩腰上的高、中線、角平分線的距離相等。
已知：如圖，在△abc中，ab＝ac，bd，ce是
△ abc的角平分線。
求證：bd＝ce（口述證明過程）
證明：（略）
已知：在δabc中，ab=ac，d在ab上，de∥ac
求證：db=de
（口述證明過程）
反證法：在證明時，先假設命題的結論不成立，然後推導出與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結果，從而證明命題的結論一定成立的方法稱為反證法。
（步驟：①提假設：假設命題的結論不成立，②推矛盾：從假設出發，應用正確的推論方法，得出與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結果；③得結論：從而肯定命題的結論）
幾種常見的結論和它的否定形式：
「a＞ba≤b」
「a=ba≠b」或「a＜b，a＞b」
「a∥ba與b相交」
「點在直線上」 「點在直線外」
「至少有乙個」 「乙個都沒有」
「至少有兩個」 「至多有乙個」
互逆命題：如果乙個命題的條件和結論分別是另乙個命題的結論和條件，那麼這兩個命題稱為互逆命題。 （「條件」與「結論」交換）
互逆定理：如果乙個定理的逆命題經過證明是真命題，那麼它也是乙個定理，這兩個定理稱為互逆定理
乙個命題是真命題，它的逆命題卻不一定是真命題。如果乙個定理的逆命題經過證明是真命題，那麼它也是乙個定理。這兩個定理稱為互逆定理，其中乙個定理稱為另乙個定理的逆定理。
小明說，在乙個三角形中,如果兩個角不相等,那麼這兩個角所對的邊也不相等,你認為這個結論成立嗎?如果成立,你能證明它?
證明（了解反證法的推理方法）
直角三角形
在直角三角形中，30°角所對的直角邊與斜邊有怎樣的大小關係？能證明你的結論嗎？
證明：在△abc中，∠acb=90°，∠a=30°，則∠b=60°
延長bc至d,使cd=bc,連線 ad
∵∠acb=90°
∴∠acd=90°
∵ac=ac
∴△abc≌△adc(sss)
∴ab=ad(全等三角形的對應邊相等)
∴△abd是等邊三角形 （有乙個角等於60°的等腰三角形是等邊三角形）
∴bc=bd=ab
得到的結論：
在直角三角形中，如果乙個銳角等於30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半。
等腰三角形的底角為15°，腰長為2a ，求腰上的高。
已知：在△abc中，ab=ac=2a,∠abc=∠acb=15°
度，cd是腰ab上的高
求：cd的長
解：∵∠abc=∠acb=15°
∴∠dac=∠abc+∠acb=15°+15°=30°
∴cd=ac=×2a=a(在直角三角形中，如果乙個銳角等於30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半)
定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。
如圖，在△abc中，∠c=90°，bc=a，ac=b，ab=c，
延長cb至點d，使bd=b，作∠ebd=∠a，並取be=c，連線ed、ae，則△abc≌△bed。
∴∠bde=90°，ed=a（全等三角形的對應角相等，對應邊相等）。
∴四邊形acde是直角梯形。
∴s梯形acde = (a+b)(a+b)= (a+b)2
∴∠abe=180°-∠abc-∠ebd=180°- 90°=90°
ab=be
∴s△abc = c2
∵s梯形acde = s△abe +s△abc+ s△bed ,
∴(a+b)2=c2+ab+ab 即a2+ab+b2=c2+ab+ab
∴a2+b2=c2
已知：如圖，在△abc，ab2+ac2=bc2，求證：△abc是直角三角形。
證明：作出rt△a』b』c』，使∠a=90°，a』b』=ab，a』c』=ac，則
a』b』2+a』c』2=b』c』2 （勾股定理）
∵ab2+ac2=bc2 ，a』b』=ab，a』c』=ac，
∴bc2= b』c』2
∴bc=b』c』
∴△abc≌△a』b』c』 (sss)
∴∠a=∠a』=90°(全等三角形的對應角相等)
因此，△abc是直角三角形。
判斷命題的真假，並說明理由
1、 銳角對應相等的兩個直角三角形全等。
2、 斜邊及一銳角對應相等的兩個直角三角形全等。
3、 兩條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。
已知：如圖，△abc和△a』b』c』中∠c=∠c』=90°，且ab=a』b』，bc=b』c』，
求證：△abc≌△a』b』c』
證明：rt△abc和rt△a』b』c』中，
∵ab=a』b』，bc=b』c』，ac2=bc2-ab2 , a』c』2=b』c』2-a』b』2
∵ac2=a』c』2ac=a』c』
∴△abc ≌a』b』c』(sss)
如圖，直線mn⊥ab，垂足是c，且ac=bc，p是mn上的任意一點。
求證：pa=pb。
證明： ∵mn⊥ab，
∴∠pca=∠pcb=90°
∵ac=bc，pc=pc
∴△pca≌△pcb（sas）
∴pa=pb（全等三角形的對應邊相等）
用尺規作線段的垂直平分線
已知：線段ab 求作：線段ab的垂直平分線。
作法：1、分別以點a和b為圓心，
以大於ab的長為半徑作弧，兩弧相交於點c和d，
2、作直線cd。
直線cd就是線段ab的垂直平分線
定理：三角形三邊的垂直平分線相交於一點，並且這一點到三個頂點的距離相等。
證明：在△abc中，設ab、bc的垂直平分線相交於點p，連線ap、bp、cp，
∵點p**段ab的垂直平分線上
∴pa=pb（線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點距離相等）
同理：pb=pc
∴pa=pc
∴點p在ac的垂直平分線上
（到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上）。
∴ab，bc，ac的垂直平分線相交於點p。
如圖，在已知∠aob的兩邊上分別取點m、n，使om=on，再過點m作oa的垂線，過點n作ob的垂線，兩垂線交於點p，那麼射線op就是∠aob的平分線
請證明：
證明： ∵mc=nc pc=pc
∴rt△mcp≌rt△ncp (hl)
∴∠mcp=∠ncp(全等三角形對應角相等)
用尺規作角的平分線。
已知：∠aob
求作：射線oc，使∠aoc=∠boc
作法：1、在oa和ob上分別擷取od、oe，使od=oe
2、分別以d、e為圓心，以大於de的長為半徑作弧，兩弧在∠aob內交於點c。
3、作射線oc
oc就是∠aob的平分線。
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