如圖13.1，△abc是等腰直角三角形，四邊形adef是正方形，d、f分別在ab、ac邊上，此時bd＝cf，bd⊥cf成立.
（1）當正方形adef繞點a逆時針旋轉θ（）時，如圖13.2，bd＝cf成
立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.
（2）當正方形adef繞點a逆時針旋轉45°時，如圖13.3，延長bd交cf於點g.
① 求證：bd⊥cf；
② 當ab＝4，ad＝時，求線段bg的長.
答案解（1）bd＝cf成立.
理由：∵△abc是等腰直角三角形，四邊形adef是正方形，
∴ab=ac，ad=af，∠bac=∠daf=90°,
∵∠bad=，
∠caf=，
∴∠bad=∠caf，
∴△bad≌△caf.
∴bd＝cf3分）
（2）①證明：設bg交ac於點m.
∵△bad≌△caf（已證），∴∠abm＝∠gcm.
∵∠bma＝∠cmg，∴△bma∽△cmg.
∴∠bgc＝∠bac＝90°.∴bd⊥cf.……（6分）
②過點f作fn⊥ac於點n.
∵在正方形adef中，ad＝，
∴an＝fn＝.
∵在等腰直角△abc中，ab＝4，
∴cn＝ac－an＝3，bc＝.
∴在rt△fcn中，.
∴在rt△abm中，.
∴am＝.
∴cm＝ac－am＝4－＝，.……（9分）
∵△bma∽△cmg，∴.
∴.∴cg11分）
∴在rt△bgc中，.………………（12分）
問題：如圖（1）在菱形abcd和菱形befg中，點a，b，e在同一直線上，p是線段df的中點，連線pg，pc，若∠abc
問題：如圖（1）在菱形abcd和菱形befg中，點a，b，e在同一直線上，p是線段df的中點，連線pg，pc，若∠abc=∠bef=60°，**pg與pc的位置關係及
的值，小聰同學的思路是延長gp交dc於點h，構造全等三角形，經過推理使問題得到解決．請你參考小聰同學的思路，**並解決下列問題：
（1）寫出上面問題中線段pg與pc的位置關係及
的值．（2）將圖（1）中的菱形befg恰好與菱形abcd的邊ab在同一直線上，原問題中的其它條件不變（如圖（2））你在（1）中得到的兩個結論是否發生變化？寫出你的猜想，並加以證明．
（1）延長gp，交cd於點h，
∵四邊形abcd與四邊形befg是菱形，
∴cd∥ab∥gf，
∴∠pdh=∠pfg，∠dhp=∠pgf，
∵p是線段df的中點，
∴dp=pf，
在△dph和△fgp中，
，∴△dph≌△fgp（aas），
∴ph=pg，dh=gf，
∵cd=bc，gf=gb=dh，
∴ch=cg，
∴cp⊥hg，∠abc=60°，
∴∠dcg=120°，
∴∠pcg=60°，
∴pg：pc=tan60°=√3
，∴線段pg與pc的位置關係是pg⊥pc，=；
（2）猜想：（1）中的結論沒有發生變化．
證明：如圖（2），延長gp交ad於點h，連線ch，cg，
∵p是線段df的中點，
∴fp=dp，
∵ad∥gf，
∴∠hdp=∠gfp，
∵∠gpf=∠hpd，
∴△gfp≌△hdp（asa），
∴gp=hp，gf=hd，
∵四邊形abcd是菱形，
∴cd=cb，∠hdc=∠abc=60°，
∵∠abc=∠bef=60°，菱形befg的對角線bf恰好與菱形abcd的邊ab在同一條直線上，
∴∠gbf=60°，
∴∠hdc=∠gbf，
∵四邊形befg是菱形，
∴gf=gb，
∴hd=gb，
∴△hdc≌△gbc，
∴ch=cg∠hcd=∠gcb，
∴pg⊥pc（到線段兩端點距離相等的點**段的垂直平分線上）
∵∠abc=60°
∴∠dcb=∠hcd+∠hcb=120°，
∵∠hcg=∠hcb+∠gcb，
∴∠hcg=120°，
∴∠gcp=60°，
∴=tan∠gcp=tan60°=√3
題型：解答題難度：中檔**：不詳
答利用旋轉作圖的證明題;
（1）**：如圖1，e、f分別在正方形abcd的邊bc、cd上，且∠eaf=45°，請猜測並寫出線段df、be、ef之間的等量關係（不必證明）；
（2）變式：如圖2，e、f分別在四邊形abcd的邊bc、cd上，∠b+∠d=180°，ab=ad，∠eaf=
∠bad，則線段be、ef、fd的等量關係又如何？**以證明；
（3）應用：在條件（2）中，若∠bad=120°，ab=ad=1，bc=cd（如圖3），求此時△cef的周長．
分析與解答
習題「（1）**：如圖1，e、f分別在正方形abcd的邊bc、cd上，且∠eaf=45°，請猜測並寫出線段df、be、ef之間的等量關係（不必證明）；（2）變式：如圖2，e、f分別在四邊形abcd的邊bc、cd上，∠...
」的分析與解答如下所示：
分析（1）結論雖然沒有要求證明，從探求線段df、be、ef之間的等量關係可知，證明ef=be+df，需要將△adf繞點a順時針旋轉90°，旋轉後點f對應點m，構成△ame再尋找它與△afe全等的條件；以此為啟發，圖（2），（3）用類似方法可解．
解答解：（1）ef=be+df．
（2）ef=be+df．
證明：延長cb至m，使bm=df，
∵∠abc+∠d=180°，∠1+∠abc=180°，
∠1=∠d，
又∵ab=ad，
∴△abm≌△adf．
∴af=am，∠2=∠3．
∵∠eaf=
∠bad，
∴∠2+∠4=
∠bad=∠eaf．
∴∠3+∠4=∠eaf，即∠mae=∠eaf．
又∵ae=ae，
∴△ame≌△afe．
∴ef=me，即ef=be+bm．
∴ef=be+df．
（3）連線ac，
∵ab=ad，bc=cd，ac=ac，
∴△abc≌△adc（sss）．
∴∠b=∠d，∠dac=∠bac．
∵∠b+∠d=180°，
∴∠b=90°，∠bac=
∠bad=60°．
∴在rt△abc中，
bc=abtan60°=√3，
由（2）得ef=be+df．
∴△cef的周長=ce+cf+ef=2bc=2√3
鏈結(2014浙江紹興)
(1)如圖1，正方形abcd中，點e，f分別在邊bc，cd上，∠eaf＝45°，延長cd到點g，使dg＝be，鏈結ef，ag．求證：ef＝fg．
(2)如圖2，等腰直角三角形abc中，∠bac＝90°，ab＝ac，點m，n在邊bc上，且∠man＝45°，若bm＝1，cn＝3，求mn的長．
45圖形旋轉與簡單證明
江夏區第一初級中學九年級數學導學案 序號設計者 劉泰山設計時間 2014 8 27 一 自主學習 夯實基礎 1 如圖1，在直角 oab中，aob 30 將 oab繞點o逆時針旋轉100 得到 oa1b1，則 a1ob 圖1圖2圖3 2 如圖2，在 abc中，ab 2，bc 3.6，b 60 將 ab...
圖形認識初步計算與證明
1.如圖，已知，求的度數。2.如圖，已知鈍角，是直角，od平分，oe平分，求的度數。3.直線ab cd相交於點o，oe平分 aod，foc 90 1 40 求 2與 3的度數。4.已知 m是線段ab的中點，p是線段bm上任意一點，求證 pm 5.已知a o b在同一直線上，oc是任意一條射線，om ...
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