全等的證明
教學目標：熟練證明三角形的全等，靈活應用勾股定理求值
一、知識鏈結：
1.如圖，點、、、在同一條直線上，
，，.求證：。
c2.已知：如圖，d 是 ac 上一點，ab = da ，de ∥ab ，∠b = ∠dae . e d
求證： bc = ae .
3.已知：如圖，點在同一條直線上，
，．求證：.
4.如圖，點b**段ad上，bc∥de，ab＝ed，bc＝db.
求證：∠a＝∠e.
5.如圖所示，在△abc中，d是bc邊的中點，f、e分別是ad的點，cf∥be．
求證：△bde≌△cdf；
6．（2010遼寧丹東市） 如圖，已知矩形abcd中，e是ad上的一點，f是ab上的一點，
ef⊥ec，且ef=ec，de=4cm，矩形abcd的周長為32cm，
（1）求證：△aef≌△dce
（2）求ae的長．
7.如圖，正方形abcd中，e、f分別是ab、bc邊上的點，且ae=bf，
（1）求證：△ade≌△baf
（2）求證：af⊥de．
8.如圖，abcd是正方形，g是bc上的一點，de⊥ag於e，bf⊥ag於f．
（1）求證：△abf≌△dae；
（2）求證：de=ef+fb．
9.如圖，在正方形abcd中，等邊三角形aef的頂點e、f分別在bc和cd上．
（1）求證：ce=cf；
（2）若等邊三角形aef的邊長為2，求正方形abcd的周長．
10.如圖1，已知正方形abcd的對角線ac、bd相交於點o，e是ac上一點，連線eb，過點a作am⊥be，垂足為m，am交bd於點f．
（1）求證：oe=of；
（2）如圖2，若點e在ac的延長線上，am⊥be於點m，交db的延長線於點f，其它條件不變，則結論「oe=of」還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由．
11、 如圖1，四邊形abcd是正方形，g是cd邊上的乙個動點(點g與c、d不重合)，以cg為一邊在正方形abcd外作正方形cefg，鏈結bg，de．我們**下列圖中線段bg、線段de的長度關係及所在直線的位置關係：
①猜想如圖1中線段bg、線段de的長度關係及所在直線的位置關係；
②將圖1中的正方形cefg繞著點c按順時針(或逆時針)方向旋轉任意角度，得到如圖2、如圖3情形．請你通過觀察、測量等方法判斷①中得到的結論是否仍然成立,並選取圖2證明你的判斷．
12.如圖14-1，的邊在直線上，，且；的邊也在直線上，邊與邊重合，且．
（1）在圖14-1中，請你通過觀察、測量，猜想並寫出與所滿足的數量關係和位置關係；
（2）將沿直線向左平移到圖14-2的位置時，交於點，鏈結，．猜想並寫出與所滿足的數量關係和位置關係，請證明你的猜想；
（3）將沿直線向左平移到圖14-3的位置時，的延長線交的延長線於點，鏈結，．你認為（2）中所猜想的與的數量關係和位置關係還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由．
13.在△abc中，ab=ac，cg⊥ba交ba的延長線於點g．一等腰直角三角尺按如圖15-1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點為f，一條直角邊與ac邊在一條直線上，另一條直角邊恰好經過點b．
（1）在圖15-1中請你通過觀察、測量bf與cg的
長度，猜想並寫出bf與cg滿足的數量關係，
然後證明你的猜想；
（2）當三角尺沿ac方向平移到圖15-2所示的位置時，
一條直角邊仍與ac邊在同一直線上，另一條
直角邊交bc邊於點d，過點d作de⊥ba於
點e．此時請你通過觀察、測量de、df與cg
的長度，猜想並寫出de＋df與cg之間滿足
的數量關係，然後證明你的猜想；
（3）當三角尺在（2）的基礎上沿ac方向繼續平移到圖15-3所示的位置（點f**段ac上，
且點f與點c不重合）時，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用說明理由）
14.已知：在四邊形abcd中，ad∥bc，∠bac＝∠d，點e、f分別在bc、cd上，且∠aef＝∠acd，試**ae與ef之間的數量關係。
（1）如圖1，若ab＝bc＝ac，則ae與ef之間的數量關係是什麼；
（2）如圖2，若ab＝bc，你在（1）中得到的結論是否發生變化？寫出猜想，並加以證明；
15.如圖12，四邊形abcd是正方形，點e，k分別在bc，ab上，點g在ba的延長線上，且ce=bk=ag.
⑴求證：①de=dg；
②de⊥dg；
⑵尺規作圖：以線段de，dg為邊作出正方形defg（要求：只保留作圖痕跡，不寫作法和證明）；
⑶連線⑵中的kf，猜想並寫出四邊形cefk是怎樣的特殊四邊形，並證明你的猜想；
⑷當時，請直接寫出的值.
16.如圖13－1，一等腰直角三角尺gef的兩條直角邊與正方形abcd的兩條邊分別重合在一起．現正方形abcd保持不動，將三角尺gef繞斜邊ef的中點o（點o也是bd中點）按順時針方向旋轉．
（1）如圖13－2，當ef與ab相交於點m，gf與bd相交於點n時，通過觀察或測量bm，fn的長度，猜想bm，fn滿足的數量關係，並證明你的猜想；
（2）若三角尺gef旋轉到如圖13－3所示的位置時，線段fe的延長線與ab的延長線相交於點m，線段bd的延長線與gf的延長線相交於點n，此時，（1）中的猜想還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．
17．問題情境：如圖1，在直角三角形abc中，∠bac=90°，ad⊥bc於點d，可知：∠bad=∠c（不需要證明）；
特例**：如圖2，∠man=90°，射線ae在這個角的內部，點b、c在∠man的邊am、an上，且ab=ac，cf⊥ae於點f，bd⊥ae於點d．證明：△abd≌△caf；
歸納證明：如圖3，點b，c在∠man的邊am、an上，點e，f在∠man內部的射線ad上，∠1、∠2分別是△abe、△caf的外角．已知ab=ac，∠1=∠2=∠bac．求證：△abe≌△caf；
拓展應用：如圖4，在△abc中，ab=ac，ab＞bc．點d在邊bc上，cd=2bd，點e、f**段ad上，∠1=∠2=∠bac．若△abc的面積為15，則△acf與△bde的面積之和為
119.如圖①，已知△abc是等腰直角三角形，∠bac=90°，bc=2，ad是bc邊上的高．作正方形defg，使點a、c分別在dg和de上，且de=bc，且連線ae、bg．
（1）試猜想線段bg和ae的數量關係，請直接寫出你得到的結論；
（2）將正方形defg繞點d逆時針方向旋轉一定角度後（旋轉角度大於0°，或小於90°），dg、de分別交ab、ac於點m和n（如圖②），則（1）中的結論是否仍然成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由．
20．如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片abc和dec重合放置，其中∠c=90°，∠b=∠e=30°．
（1）操作發現
如圖2，固定△abc，使△dec繞點c旋轉，當點d恰好落在ab邊上時，填空：
①線段de與ac的位置關係是
②設△bdc的面積為s1，△aec的面積為s2，則s1與s2的數量關係是
（2）猜想論證
當△dec繞點c旋轉到如圖3所示的位置時，小明猜想（1）中s1與s2的數量關係仍然成立，並嘗試分別作出了△bdc和△aec中bc、ce邊上的高，請你證明小明的猜想．
（3）拓展**
已知∠abc=60°，點d是角平分線上一點，bd=cd=4，de∥ab交bc於點e（如圖4）．若在射線ba上存在點f，使s△dcf=s△bde，請直接寫出相應的bf的長．
21、在圖15-1至圖15-3中，直線mn與線段ab相交
於點o，∠1=∠2=45°．
（1）如圖15-1，若ao=ob，請寫出ao與bd
的數量關係和位置關係；
（2）將圖15-1中的mn繞點o順時針旋轉得到
圖15-2，其中ao=ob．
求證：ac=bd，ac⊥bd；
．22.閱讀下面材料：
小偉遇到這樣乙個問題：如圖1，在正三角形abc內有一點p，且pa=3 ，pb=4，pc=5，求∠apb的度數.
小偉是這樣思考的：如圖2，利用旋轉和全等的知識構造△，連線，得到兩個特殊的三角形，從而將問題解決．
請你回答：圖1中∠apb的度數等於 .
（1）如圖3，在正方形abcd內有一點p，且pa=，pb=1，pd=，則∠apb的度數等於 ，正方形的邊長為 ；
（2）如圖4，在正六邊形abcdef內有一點p，且pa=，pb=1，pf=，則∠apb的度數等於 ，正六邊形的邊長為 ．
旋轉圖形的證明與計算
如圖13.1，abc是等腰直角三角形，四邊形adef是正方形，d f分別在ab ac邊上，此時bd cf，bd cf成立.1 當正方形adef繞點a逆時針旋轉 時，如圖13.2，bd cf成 立嗎？若成立，請證明 若不成立，請說明理由.2 當正方形adef繞點a逆時針旋轉45 時，如圖13.3，延長...
旋轉的幾何證明
1 內蒙古 如圖 兩個不全等的等腰直角三角形和疊放在一起，並且有公共的直角頂點 1 將圖 中的繞點順時針旋轉角，在圖 中作出旋轉後的 保留作圖痕跡，不寫作法，不證明 2 在圖 中，你發現線段，的數量關係是直線，相交成度角 3 將圖 中的繞點順時針旋轉乙個銳角，得到圖 這時 2 中的兩個結論是否成立？...
圖形的旋轉變換課堂實錄
執教 西夏區實驗小學李蕊 評析 銀川市教育科學研究所武衛民 教學內容 人教版2013 義務教育教科書 數學 五年級下冊第五單元 圖形的運動 p83例1 圖形的旋轉變換 教學目標 1 知識與技能 通過生活例項，進一步了解圖形的旋轉現象。並能正確判斷圖形的旋轉現象。會運用數學語言簡單描述旋轉運動的過程，...