平移變換是幾何中的一種重要變換，運用平移變換可以將分散的線段、角或圖形集中到一起，便於問題的研究和解決。這是平移變換中的常用方法，下面僅舉幾例，以作說明。
一、平移變換在幾何證明中的應用
例1．如圖，△abc中，bd=ce，求證：
【解析】
本題涉及到證明的幾條線段雖然都交於一點，但對於證明這樣乙個幾何不等式不是很方便。再有bd=ce，運用平移變換，將△aec平移到△a』bd的位置，問題迎刃而解。
【答案】
證明：如圖2, 分別過點d、b作ca、ea的平行線，
兩線相交於f點，df於ab交於g點。
所以，在△aec和△fbd中，又ce=bd，
可證 △aec≌△fbd，
所以ac=fd，ae=fb，
在△agd中，ag+dg>ad，
在△bfg中，bg+fg>fb，
所以ag+dg-ad>0, bg+fg-fb>0,
所以ag+dg+bg+fg-ad-fb>0,
即ab+fd>ad+fb，
所以 ab+ac>ad+ae .
【思考】
本題還有沒有平移其他圖形的方法？
例2．如圖，梯形abcd中，∠b+∠c=90°，點e、f分別為上下底邊的中點，
求證：【解析】
題目需要證明的幾條線段是分散的，通過平移變換可以將ab、ef、dc集中到一起。此時，其他條件也很能好好地得到應用。
【答案】
證明：分別過點e、f作eg//ab,eh//cd交bc於點g、h
所以四邊形abge,dehc是平行四邊形.ae=bg,de=ch,
因為fb=fc,所以fg=fh=
所以∠egc=∠b，∠ehb=∠c,又∠b+∠c=90°，所以∠egc+∠ehb=90°，∠geh=90°
所以△geh是直角三角形.所以，ef=
二、平移變換在幾何作圖中的應用
例3. 如圖，河流的河岸ab與cd平行，點a、b表示兩個村莊，現要在河上架橋，滿足兩個條件：（1）橋與河岸垂直；（2）a、b兩個村莊之間的線路最短，請問橋應架在何處？
【解析】
不管橋設計在何處，a、b兩個村莊之間的路程中總有一段是河岸間的距離，所以運用平移變換，將河「平移」,使村莊a或b恰好在河岸上。
【答案】
過點a作aa』垂直河岸，且使aa』長度等於河的寬度，鏈結交河岸於點c，過點c作cd垂直於河岸交河岸於點d，鏈結ad，則cd為橋的位置。
【思考】
如果a、b兩個村莊之間有兩條互相平行的小河，其他條件不變，橋的位置又該如何確定？
例4. 如圖3，△abc的三條中線分別為ad、be、cf．在圖3中利用圖形變換畫出並指明以ad、be、cf的長度為三邊長的乙個三角形（保留畫圖痕跡）；
【解析】
以三條中線為邊長的三角形，顯然要對這三條線段進行「重新組合」，手段就是平移變換。
【答案】
三、平移變換在幾何計算中的應用
例5. 如圖，六邊形abcdef中，
對角線已知fd = 24 cm，bd = 18 cm.問六邊形
abcdef的面積是多少平方厘公尺？
【解析】
題目中給出了很多平行且相等的線段，這就很容易聯想到平移變換。通過平移變換，將圖形「整形」，從而求出六邊形的面積。
【答案】
如圖，將△def平移到△bag的位置，
將△bcd平移到△gaf的位置，則原六邊形分解組合
成長方形bdfg.此長方形的邊恰是已知長度的bd與
fd.易知長方形bdfg的面積為 24×28 = 432 cm2.
所以，六邊形abcdef的面積是432 cm2
例6. 已知拋物線與x軸的兩個交點記為a，b，點m在直線上，點p在拋物線上，求當以o、a、p、m為頂點的四邊形為平行四邊形時的p點座標。
【解析】
本題運用平移變換在平面直角座標系中的應用，這樣求平行四邊形的頂點座標將會簡便。因為平行四邊形可以理解為一條線段沿平面內某一方向平移所掃過的圖形。
【答案】
1 若oa為邊，則pm∥oa.
設m(m,2m), ∵oa=5， ∴p(m+5,2m)或p(m-5,2m).
當p(m+5,2m)時， ∵p點在拋物線上，
∴, 解得.
∴p(12,14).
當p(m-5,2m)時， ∵p點在拋物線上，
∴, 解得.
∴p(-3,4)或p(20,50).
②若oa為對角線，則pm為另一條對角線.[**:z&xx&k]
∵oa中點為(,0)，
設m(m,2m), ∴p(5-m,-2m). ∵p點在拋物線上，
∴, 解得.
∴p(12,14).
綜上,符合條件的p點共有3個，它們分別是p1(12,14) 、p2(-3,4)、p3(20,50).
【練習】
1． 已知，如圖，△abc中，ab=ac，d是ab上一點，e是ac延長線上一點，若bd=ce，求證：de>bc.
2． 在△hbc中，∠b=∠c，在邊hc上取點d，在邊bh上取點a，使hd=ba，鏈結ad.求證：ad≥
3．在△abc中，點p為bc的中點．
（1）如圖1，求證：ap＜（ab+bc）；
（2）延長ab到d，使得bd=ac，延長ac到e，使得ce=ab，鏈結de．
①如圖2，鏈結be，若∠bac=60°，請你**線段be與線段ap之間的數量關係．寫出你的結論，並加以證明；
②請在圖3中證明：bc≥de．
平移 旋轉在幾何證明中的應用
一 知識提要 平移和旋轉在幾何證明題中的應用 應抓住圖形平移和旋轉前後的不變數，結合三角形全等，勾股定理等知識解決問題 二 專項訓練 1.如圖長方形abcd中，橫向陰影部分是長方形，縱向陰影部分是平行四邊形，根據圖中的標註的資料，求空白部分的面積 2.如圖在長為32m，寬為20m的長方形地面上修2m...
5 2圖形變換中的計算與證明
5.2 圖形變換中的計算與證明 考綱要求學號姓名 1 理解軸對稱圖形的對應點所連的線段被對稱軸垂直平分的性質.2 能運用中心對稱的基本性質.3 理解平移的基本性質，理解對應點連線平行且相等的性質.4 理解旋轉圖形對應點到旋轉中心的距離相等 對應點與旋轉中心連線所成的角彼此相等的性質.中考熱點 例1 ...
幾何證明與計算
2012年寒假九年級數學學案二 幾何證明與計算 一 基礎回顧 1.如圖，菱形abcd的周長為20cm，de ab，垂足為e，則下列結論中正確的個數為 de 3cm eb 1cm a 3個 b 2個c 1個 d 0個 2.2011山東菏澤 一次數學活動課上，小聰將一副三角板按圖中方式疊放，則 等於 a...