幾何證明與計算（一）2007、1
【目標要求】
知道三角形的兩種分類方法，理解三角形的任何兩邊之和大於第三邊，任何兩邊之差小於第三邊，掌握三角形的內角和、外角和及外角等於與它不相鄰的兩個內角和、外角大於與它不相鄰的任何乙個內角的性質，理解三角形的中線、高、角平分線、中位線等有關線段的性質，知道全等三角形的概念，掌握全等三角形的性質和五種判定方法，能應用三角形全等證明線段或角相等．知道五種基本作圖，會根據給定的條件畫出三角形．
知道命題、真命題、假命題、定理的意義；理解逆命題、逆定理的要領知道正確命題的逆命不一定正確，會敘述題設、結論都比較簡單的命題的逆命題．
【解題指導】
例1 如圖,在△abc中，ad是中線，ab=9，ac=5，求ad的取值範圍．
拓展與引申在上題中的條件「ab=9」改為「ad=9」，其它的條件不變，如何求ab的取值範圍．
例2 求證：三角形的兩個頂點到不經過這兩個頂點的中線的距離相等．
分析根據題意，畫出示意圖，然後把文字語言轉化成符號語言．利用三角形全等就能證明．
拓展與引申在上題中，如果點m為bc邊上的任意一點，bd⊥直線am， ce⊥直線am，垂足分別為點d、e，那麼ce∶bd=s△abm∶s△acm=mb∶cm．
例3 如果三角形的邊長的比為,求對應的三邊上的高的比．
例4 如圖，已知bd是△abc的平分線，且點d是邊ac的中點，de∥bc，交ab於點e，bc=14cm．求ae的長．
【作業a組
1．填空題
（1） 如果三角形的兩條邊長為4和6，那麼第三邊的取值範圍是
（2） 在△abc中，點d、e分別是ab、ac的中點，bc=10，那麼de
（3） 在△abc中,點d在bc邊上,點e在ad上,∠bad=10°,∠b=20°,∠bce=30°,那麼∠bea=______°.
（4） 已知ad是△abc的角平分線,ab∶ac=2∶3, 那麼s△abd∶s△acd=_______.
（5） 在△abc中,ab=3,bc=4,ab邊上的高cd=5,那麼bc邊上的高為
（6） 如圖, 在△abc和△dbc中，∠a=∠d，滿足條件________或時, △abc≌△dbc.
2. 選擇題
（1）下列說法中,正確的是
（a）每個命題都有逆命題b）每個定理都有逆定理；
（c）真命題的逆命題是真命題d）真命題的逆命題是假命題.
（2）如果乙個三角形兩邊的垂直平分線的交點在第三條邊上，那麼這個三角形為（ ）
（a）銳角三角形；（b）直角三角形；（c）鈍角三角形；（d）形狀不能確定.
（3）根據下列條件，不能判定兩個直角三角形全等的是
（a）兩個銳角分別對應相等
（b）兩條直角邊分別對應相等
（c）一條直角邊和斜邊分別對應相等
（d）乙個銳角和一條斜邊分別對應相等
3．如圖，在△abc中，de垂直平分bc，垂足為d，交ac於點e，求證：（1）△aec的周長等於ab+ac；
（2）∠aec=2∠b．
4．如圖，在△abc中, de、df分別是線段ab、ac的垂直平分線，當∠a=70°時，求∠bdc的度數.
5．如圖，點d、e分別**段ab、ac上，be、cd相交於點f，ab=ac，ad=ae，找出圖中的全等三角形，並證明．
6．如圖，△abc和△cde都是等邊三角形，且a、e、d在一條直線上．求證：ad=be．
7．如圖，在△abc中，∠c=2∠b，ad是角平分線，求證：ab=ac+cd．
b組1．填空題
（1）已知乙個三角形的三個內角的度數之比為3∶4∶5，那麼這個三角形中最小的乙個內角等於度．
（2）用4公尺長的繩子圍成乙個三角形，這個三角形的最大邊必須小於公尺．
（1） 命題「直角三角形的兩個銳角互餘」的逆命題是
（2） 在△abc中，∠a=80°，∠b與∠c的平分線相交於點d，那麼∠bdc=_____度．
（3） 如圖，把△abc繞點c順時針旋轉40°，點a落在點處，點b落在點處，交ab於點d，如果∠b=30°，那麼∠adc度．
（4） 要使頂角相等的兩個等腰三角形全等，那麼還需新增乙個條件，這個條件可以是
2．如圖，點b、e、c、f在同一條直線上，ac=df，
ac∥df，be=cf．求證：∠a=∠d．
3．求證：全等三角形對應邊上的中線相等．
4．如圖，ad是△abc的角平分線，ab=ac+cd，∠b=35°．求∠bac的度數．
5．如圖，已知△abc和△cde都是等邊三角形．求證：頂點a、d之間的距離與b、e之間的距離相等．
6．如圖1，p是∠aob的平分線oc上的一點，過點p分別作oa、ob的垂線，垂足分別為點d和點h，e是線段od上一點，f是線段oh上一點，且de=fh，試問點p**段ef的中垂線上嗎？如果點e在射線da上，如圖2，其餘的條件都不變，那麼結論是否仍然成立？
7．如圖，在四邊形abcd中，ca平分∠bcd，ca=cd=ab，點e在ac上，且ce=cb.
(1) 說明ab=de的理由;
(2) △abc繞哪個點旋轉後能與△dec重合?
並求出de平分∠adc時的旋轉角的度數.
幾何證明與計算一
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