一、 合理構建直角三角形，運用勾股定理求線段的長度。常用方法：1、作垂直線段直接構建直角三角形；2、連線某兩點，證所得的新三角形是直角三角形，再運用勾股定理求線段的長度。
例題：如圖，梯形中，點是梯形外的兩點，且.
(1)求證：
(2)若求線段的長．
(1)證明：∵梯形中，
且為等邊三角形.
1分）又2分）
在和中3分）
4分）(2)連線
由(1)知為等邊三角形，
又5分）
為等邊三角形，
7分）中，
9分）又由(1)知，
10、變式練習：
1、已知：如圖，在直角梯形abcd中，ad∥bc，∠abc=90，de⊥ac於點f，交bc於點g，交ab的延長線於點e，且ae=ac。
（1）求證：bg=fg；
（2）若ad=dc=2，求ab的長。
2、如圖，是等邊三角形，過點作交的外角平分線於點，鏈結，過點作交的延長線於點．
(1)求證：；
(2)若求的長.
二、 與直角梯形相關的證明和計算。方法：作高，把直角梯形分割成矩形和直角三角形來解決。
例題：如圖，已知梯形abcd中，ad//bc，，將梯形的腰cd繞點d按順時針方向旋轉到de位置，連線ae，ce，ce交ad的延長線於點f，過點e作eg⊥af於點g。
(1)證明：dg=ab；
(2)若ad=4，bc=7，ab=2，求四邊形abce的面積。
證明：過d作dh⊥bc於h1分
∵eg⊥df dh⊥bc
∴又∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°
∴∠1＝∠3
又∵cd＝de
∴在△egd和△chd中
∴△egd≌△chd2分
∴dg＝dh3分
又∵在四邊形abhd中
dh // ab, ad // bh 且∠b=90°
∴四邊形adhb為矩形
∴ab=dh4分
又dh＝dg
∴dg＝ab5分
(2)∵四邊形adhb為矩形 ∴ad＝bh＝4
∴ch＝bc-bh＝3
∴在rt△cdh中
∴de＝cd7分
在rt△edg中
＝38分
10分變式練習：
1、如圖，直角梯形abcd中，∠dab=90°，ab∥cd，ab=ad,∠abc=60°.以ad為邊在直角梯形abcd外作等邊三角形adf，點e是直角梯形abcd內一點，且∠ead=∠eda=15°，連線eb、ef.
（1）求證：eb=ef；
（2）延長fe交bc於點g，點g恰好是bc的中點，若ab=6，求bc的長.
2、在直角梯形abcd中，ab∥dc，ab⊥bc，∠a＝60°，ab＝2cd，e、f分別為ab、
ad的中點，鏈結ef、ec、bf、cf．
(1)求證：△bef≌△cdf；
(2)若cd＝2，求四邊形bcfe的面積．
3、在梯形abcd中，ad∥bc，de⊥bc於e，交ac於點f，∠acb=450,連線bf，∠fbc=∠edc，
（1）求證：bf=cd;
(2)若ab=5,bc=7,求梯形abcd的面積。
三、 與正方形有關的證明和計算。常用性質：正方形對角線兩邊的部分是對稱的，正方形的對角線垂直平分且相等。
例題：如圖，在邊長為6的正方形中，點在上從向運動，連線交於點連線
(1)試證明：無論點運動到上何處時，都有
(2)當的面積與正方形面積之比為1:6時，求的長度，並直接寫出此時點在上的位置.
(1)證明：在正方形中，
∴(2)解：∵的面積與正方形面積之比為1:6且正方形面積為36
∴的面積為6
過點作於於
∵∴四邊形為矩形
在中，此時在的中點位置(或者回答此時)
變式練習：
1、如圖，正方形abcd的對角線交於點0，點e是線段0d上一點，連線ec，作bfce於點f，交0c於點g．
(1)求證：bg=ce;
(2)若ab=4 bf是dbc的角平分線，求og的長．
2、如圖，正方形abcd中，p為對角線bd上一點，連線ap，過點p作ef⊥ap於點p，且pe=pf，ef交cd於f，交cb的延長線於e，交ab於g。
（1）若ae=2√2,求ap的長；
（2）求證：ec=ab+df.
3、如圖，在正方形中，點是的中點，連線，過點作
交的延長線於點，連線，過點作交
於點，連線。
（1）若，求的長；
（2）求證：。
4、如圖，正方形abcd中，m為ad邊上的一點，連線bm，過點c作cn//bm，交ad的延長線於點n，在cn上擷取ce=bc，連線be交cd於f ，
（1）若，，求df的長度；
（2）求證：bm=dn+cf
例2、如圖，正方形中，為邊上一點，過點作，與延長線交於點．連線，與邊交於點，與對角線交於點．
（1）若，求的長；
（2）若，求證：．
（1）解：∵正方形
∴rt△中，
即∴∴△≌△
5分 （2）證明：在上擷取一段，使得
∴為等腰直角三角形
∴∴△≌△ ∴又∵
∴∴∴即△為等邊三角形
∴10分
變式練習：
1、在中，對角線延長線上一點且
為等邊三角形，、的平分線相交於點，
連線，連線。
（1）若的面積為，求的長；
（2）求證：。
2、如圖，正方形中，對角線ac、bd相交於點o，e為oc上一點，連線be，f為∠obe角平分線上一點，連線of、af,g為be上一點，bo=bg。
（1）若fg⊥of,of=1,求線段og的長；
（2）若∠afb=90,求證：af=bf+og.
3、在正方形abcd中，f點是bc上一點，連線df，過點d作de⊥df交ba延長線於e點，鏈結ef，與bd交於點m.
（1）若de=2，求ef的長；
（2）∠bef的角平分線交bd於點g，過點g作gh⊥ef於h，過點d作dn⊥ef於n.求證：hg+dn=ad
4、在平行四邊形abcd中，對角線ac⊥ab,∠bac的平分線與∠bca平分線交於點e，過點e作ef∥bc交cd於點f，過點e作eh∥cd交ad於點h。
（1）若∠b=600，cf=2，求eg的長；
（2）求證：gf=gk+kh.
5、已知正方形abcd，點p、q分別是邊ad、bc上的兩動點，將四邊形abqp沿pq翻摺得到四邊形efqp，點e**段cd上，ef交bc於g，鏈結ae.
求證：（1）ea平分∠def；
（2）ec+eg+gc=2ab.
（3）若正方形的邊長為12，且de=5，求摺痕pq的長。
2、如圖，e是正方形abcd內一點， ，點g是ae的中點．點f是正方形abcd外一點，於點b，fb=be，連線cf、ce、cg、ca．
(1)若ag=1，求ac的長．
(2)求證：．
近年中考24題
1、．（11年）（如圖，梯形abcd中，ad∥bc，∠dcb=450，cd=2，bc⊥cd。過點c作ce⊥ab於e，交對角線bd於f，點g為bc中點，鏈結eg、af。
（1）求eg的長；
（2）求證：cf=ab+af。
2、（12年）已知如圖，在菱形abcd中，f為bc的中點，df與對角線ac相交於點m，過m作mecd於點e，∠1=∠2,。
（1）若ce=1，求bc的長；
（2）求證：am=df+me.
幾何證明與計算
2012年寒假九年級數學學案二 幾何證明與計算 一 基礎回顧 1.如圖，菱形abcd的周長為20cm，de ab，垂足為e，則下列結論中正確的個數為 de 3cm eb 1cm a 3個 b 2個c 1個 d 0個 2.2011山東菏澤 一次數學活動課上，小聰將一副三角板按圖中方式疊放，則 等於 a...
幾何計算與證明
1 如圖，已知ab是 o的直徑，過 o上的點c的切線交ab的延長線於e，ad ec於d且交 o於f。求證 ad df ab 若ce eb 求 ade的面積。2 已知p是 xay的平分線上的一點，過a p兩點任作一圓，若此圓交 xay的兩邊於b c。求證 ab ac為一定值。3 如圖，已知 o1和 o...
幾何證明與計算
考點解析 幾何證明與計算題常常研究以下幾個方面的問題 證明線段 角的數量關係 包括相等 和差 倍 分關係以及比例關係 或求線段長及角度 證明圖形的位置關係 如點與線 線與線 線與圓 圓與圓等 面積計算問題 動態幾何問題等等.在解幾何問題時，常常需要畫圖並分解其中的基本圖形，挖掘其中隱含的數量關係，另...