我們把諸如「，，……，（為自然數）」之類的數列叫做冪數列。如等。
下面幾個公式經數學歸納法證明是正確的：
……，……，
……，……，
……，……，……，
……，……，
……。我們把這幾個公式叫做冪數列前n項和公式，其中前三個已出現在高中課本上。出人意料的是，這些公式並不隨著冪次數的增高而變得像我們想象的那樣複雜，等號右端次數雖高，但項數並不是特別的多，因為某些項被消掉了。
並且各項的係數的絕對值也都還沒超過1。這些公式是怎樣推導出來的呢？
下面以4次冪數列為例介紹乙個推導方法。
我們先看乙個展開式:
由這個展開式可得。
取，則，取，則，……
這些等式兩端分別相加得
為了計算中括號裡邊的值，我們先舉乙個例子：計算
式子……的值。
按常規演算法，這300次乘法計算和99次加法計算即使使用計算器恐怕小時之內很難完成任務。若各項都乘，得……，這樣前兩項相加得,再加第三項得，依此類推，加到最後一項，得數應是，故……，由此猜想……，
所以其中方括號裡邊的值為,再把1，2，3次冪數列求和公式分別代入上式並化簡，得
……。這個公式的正確性可用數學歸納法來證明，證明過程如
下:取，則，公式顯然成立；假設時公式也成立，即……，則時有……
，而，所以。這就證明了當時公式也成立。通過以上證明可知，取任何自然數公式……都成立。
用類似的方法可以分別推導出5至10次冪數列求和公式，並可仿照上面的方法證明。至於11次及11次以上的冪數列求和公式,相信你在讀完本文後也一定能推導和證明的。
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