2.5 等比數列的前n項和
2.5.1 等比數列前n項和公式的推導與應用
從容說課
師生將共同分析**等比數列的前n項和公式.公式的推導以教材中的「錯位相減法」為最基本的方法，「錯位相減法」也是一種演算法，其設計的思路是「消除差別」，從而達到化簡的目的.
等比數列前n項和公式的推導還有許多方法，可啟發、引導學生進行探索.例如，根據等比數列的定義可得,
再由分式性質，得,整理得.
教學中應充分利用資訊和多**技術，還應給予學生充分的探索空間.
教學重點 1.等比數列前n項和公式的推導;
2.等比數列前n項和公式的應用.
教學難點等比數列前n項和公式的推導.
教具準備多**課件、投影膠片、投影儀等
三維目標
一、知識與技能
1.了解現實生活中存在著大量的等比數列求和的計算問題；
2.探索並掌握等比數列前n項和公式；
3.用方程的思想認識等比數列前n項和公式，利用公式知三求一；
4.體會公式推導過程中的分類討論和轉化化歸的思想.
二、過程與方法
1.採用觀察、思考、模擬、歸納、**得出結論的方法進行教學；
2.發揮學生的主體作用，作好**性活動.
三、情感態度與價值觀
1.通過生活中有趣的例項，鼓勵學生積極思考，激發學生對知識的**精神和嚴肅認真的科學態度，培養學生的模擬、歸納的能力；
2.在**活動中學會思考，學會解決問題的方法；
3.通過對有關實際問題的解決，體現數學與實際生活的密切聯絡，激發學生學習的興趣.
教學過程
匯入新課
師西洋棋起源於古代印度.相傳國王要獎賞西洋棋的發明者.這個故事大家聽說過嗎？
生知道一些，踴躍發言.
師 「請在第乙個格仔裡放上1顆麥粒，第二個格仔裡放上2顆麥粒，第三個格仔裡放上4顆麥粒，以此類推.每乙個格仔裡放的麥粒都是前乙個格仔裡放的麥粒的2倍.直到第64個格仔.
請給我足夠的麥粒以實現上述要求.」這就是西洋棋發明者向國王提出的要求.
師假定千粒麥子的質量為40 g，按目前世界小麥年度產量約60億噸計.你認為國王能不能滿足他的要求？
生各持己見.動筆，列式，計算.
生能列出式子：麥粒的總數為
1+2+22+…+263=?
師這是乙個什麼樣的問題？你們計算出結果了嗎？讓我們一起來分析一下.
課件展示：
1+2+22+…+2 63=?
師我們將各格所放的麥粒數看成是乙個數列，那麼我們得到的就是乙個等比數列.它的首項是1，公比是2，求第1個格仔到第64個格仔所放的麥粒數總和，就是求這個等比數列的前64項的和.
現在我們來思考一下這個式子的計算方法：
記s=1+2+22+23+…+2 63，式中有64項，後項與前項的比為公比2，當每一項都乘以2後，中間有62項是對應相等的，作差可以相互抵消.
課件展示：
s=1+2+22+23+…+2 63,①
2s=2+22+23+…+263+264,②
②-①得
2s-s=2 64-1.
264-1這個數很大，超過了1.84×10 19，假定千粒麥子的質量為40 g，那麼麥粒的總質量超過了7 000億噸.而目前世界年度小麥產量約60億噸，因此，國王不能實現他的諾言.
師國王不假思索地給西洋棋發明者乙個承諾，導致了乙個很不幸的後果的發生，這都是他不具備基本的數學知識所造成的.而避免這個不幸的後果發生的知識，正是我們這節課所要**的知識.
推進新課
［合作**］
師在對一般形式推導之前，我們先思考乙個特殊的簡單情形：1+q+q2+…+qn=？
師這個式子更突出表現了等比數列的特徵，請同學們注意觀察.
生觀察、獨立思考、合作交流、自主**.
師若將上式左邊的每一項乘以公比q，就出現了什麼樣的結果呢？
生 q+q2+…+qn+q n+1.
生每一項就成了它後面相鄰的一項.
師對上面的問題的解決有什麼幫助嗎？
師生共同探索：
如果記sn=1+q+q2+…+qn,
那麼qsn=q+q2+…+qn+q n+1.
要想得到sn，只要將兩式相減，就立即有(1-q)sn=1-qn.
師提問學生如何處理，適時提醒學生注意q的取值.
生如果q≠1，則有.
師當然，我們還要考慮一下如果q＝1問題是什麼樣的結果.
生如果q＝1，那麼sn=n.
師上面我們先思考了乙個特殊的簡單情形，那麼，對於等比數列的一般情形我們怎樣思考？
課件展示：
a1+a2+a3+…+an=？
［教師精講］
師在上面的特殊簡單情形解決過程中，蘊含著乙個特殊而且重要的處理問題的方法，那就是「錯位相減，消除差別」的方法.我們將這種方法簡稱為「錯位相減法」.
師在解決等比數列的一般情形時，我們還可以使用「錯位相減法」.
如果記sn=a1+a2+a3+…+an,
那麼qsn=a1q+a2q+a3q+…+anq,
要想得到sn，只要將兩式相減，就立即有(1-q)sn=a1-anq.
師再次提醒學生注意q的取值.
如果q≠1，則有.
師上述過程如果我們略加變化一下，還可以得到如下的過程：
如果記sn=a1+a1q+a1q2+…+a1q n-1,
那麼qsn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn,
要想得到sn，只要將兩式相減，就立即有(1-q)sn=a1-a1qn.
如果q≠1，則有.
師上述推導過程，只是形式上的不同，其本質沒有什麼差別，都是用的「錯位相減法」.
形式上，前乙個出現的是等比數列的五個基本量：a1,q,an,sn,n中a1,q,an,sn四個；後者出現的是a1,q,sn,n四個，這將為我們今後運用公式求等比數列的前n項的和提供了選擇的餘地.
值得重視的是：上述結論都是在「如果q≠1」的前提下得到的.言下之意，就是只有當等比數列的公比q≠1時，我們才能用上述公式.
師現在請同學們想一想，對於等比數列的一般情形，如果q＝1問題是什麼樣的結果呢？
生獨立思考、合作交流.
生如果q＝1，sn=na1.
師完全正確.
如果q＝1，那麼sn=nan.正確嗎？怎麼解釋？
生正確.q＝1時，等比數列的各項相等，它的前n項的和等於它的任一項的n倍.
師對了，這就是認清了問題的本質.
師等比數列的前n項和公式的推導還有其他的方法，下面我們一起再來**一下：
［合作**］
思路一：根據等比數列的定義，我們有：,
再由合比定理，則得,
即, 從而就有(1-q)sn=a1-anq.
(以下從略)
思路二：由sn=a1+a2+a3+…+an得
sn=a1+a1q+a2q+…+a n-1q=a1+q(a1+a2+…+a n-1)=a1+q(sn-an),
從而得(1-q)sn=a1-anq.
(以下從略)
師**中我們們應該發現，sn-s n-1 =an是乙個非常有用的關係，應該引起大家足夠的重視.在這個關係式中，n的取值應該滿足什麼條件？
生 n＞1.
師對的，請同學們今後多多關注這個關係式：sn-s n-1=an，n＞1.
師綜合上面的**過程，我們得出：
或者［例題剖析］
【例題1】 求下列等比數列的前8項的和：
(1), , ,…；
(2)a1=27,a9=,q＜0.
［合作**］
師生共同分析：
由(1)所給條件，可得，,求n＝8時的和，直接用公式即可.
由(2)所給條件，需要從中獲取求和的條件，才能進一步求n＝8時的和.而 a9=a1q8，所以由條件可得q8= =，再由q＜0，可得，將所得的值代入公式就可以了.
生寫出解答：
(1)因為,，所以當n＝8時，.
(2)由a1=27,，可得，
又由q＜0，可得,
於是當n＝8時，.
【例題2】 某商場今年銷售計算機5 000臺，如果平均每年的銷售量比上一年的銷售量增加10%，那麼從今年起，大約幾年可使總銷售量達到30 000臺(結果保留到個位)？
師根據題意，從中發現等比關係，從中抽象出等比數列，並明確這是乙個已知sn=30 000求n的問題.
生理解題意，從中發現等比關係，並找出等比數列中的基本量，列式，計算.
解：根據題意，每年的銷售量比上一年增加的百分率相同，所以，從今年起，每年銷售量組成乙個等比數列，其中a1=5 000,q=1+10%=1.1,sn=30 000.
於是得到,
整理得1.1n=1.6,
兩邊取對數，得nlg1.1=lg1.6,
用計算器算得≈≈5(年).
答：大約5年可以使總銷售量達到30 000臺.
練習：教材第66頁，練習第1、2、3題.
課堂小結
本節學習了如下內容：
1.等比數列前n項和公式的推導；特別是在推導過程中，學到了「錯位相減法」.
2.等比數列前n項和公式的應用.因為公式涉及到等比數列的基本量中的4個量，一般需要知道其中的3個，才能求出另外乙個量.
另外應該注意的是，由於公式有兩個形式，在應用中應該根據題意所給的條件，適當選擇運用哪乙個公式.
在使用等比數列求和公式時，注意q的取值是至關重要的乙個環節，需要放在第一位來思考.布置作業
課本第69頁習題2.5 a組第1、2、3題.
板書設計
高中數學題庫 等比數列及其前n項和
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等比數列的前n項和
一 教學目標 1 掌握等比數列的前n項和公式及其推導思想和過程，會用等比數列求和公式進行計算，解決相關問題 2 通過實際問題，激發學生的學習興趣和強烈的求知慾 通過引導學生 等比數列的前n項和公式，讓學生感受如何去分析問題 解決問題，提高學生的綜合能力 培養學生的歸納 分類討論 知識遷移的能力 通過...
等比數列及其前n項和
1 等比數列的有關概念 1 定義 如果乙個數列從第項起，每一項與它的前一項的比等於不為零 那麼這個數列就叫做等比數列 這個常數叫做等比數列的通常用字母q表示，定義的表示式為 q n n q為非零常數 2 等比中項 如果a g b成等比數列，那麼叫做a與b的等比中項 即 g是a與b的等比中項a，g，b...