1．等比數列的有關概念
(1)定義：
如果乙個數列從第項起，每一項與它的前一項的比等於不為零)，那麼這個數列就叫做等比數列．這個常數叫做等比數列的通常用字母q表示，定義的表示式為＝q(n∈n*，q為非零常數)．
(2)等比中項：
如果a、g、b成等比數列，那麼叫做a與b的等比中項．即：g是a與b的等比中項a，g，b成等比數列
2．等比數列的有關公式
(1)通項公式：an
(2)前n項和公式：sn＝
3．等比數列的常用性質
(1)在等比數列中，若m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈n*)，則am·an＝ap·aq＝a.
特別地，a1an＝a2an－1＝a3an－2＝….
(2)在公比為q的等比數列中，數列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比數列，公比為qk；
（3）數列sm，s2m－sm，s3m－s2m，…仍是等比數列(此時q≠－1)；
基礎訓練
1．(教材習題改編)等比數列中，a4＝4，則a2·a6等於( )
a．4b．8
c．16d．32
2．已知等比數列的前三項依次為a－1，a＋1，a＋4，則an＝( )
a．4·nb．4·n
c．4·n－1d．4·n－1
3．(2011·北京高考)在等比數列中，若a1＝，a4＝4，則公比qa1＋a2＋…＋an
4．(2012·新課標全國卷)等比數列的前n項和為sn，若s3＋3s2＝0，則公比q
等比數列的判定與證明
【例1】已知數列的前n項和為sn，且an＋sn＝n.
(1)設cn＝an－1，求證：是等比數列；
(2)求數列的通項公式．
【突破訓練】.(2012·瀋陽模擬)已知函式f(x)＝logax，且所有項為正數的無窮數列滿足logaan＋1－logaan＝2，則數列( )
a．一定是等比數列
b．一定是等差數列
c．既是等差數列又是等比數列
d．既不是等差數列又不是等比數列
等比數列的基本運算
【例2】 (2011·全國高考)設等比數列的前n項和為sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和sn.
【突破訓練】(2012·山西適應性訓練)已知數列是公差不為零的等差數列，a1＝2，且a2，a4，a8成等比數列．
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
等比數列的性質
【例3】 (1)(2012·威海模擬)在由正數組成的等比數列中，若a3a4a5＝3π，則sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值為( )
abc．1d．－
(2)設等比數列的前n項和為sn，若s6∶s3＝1∶2，則s9∶s3等於( )
a．1∶2b．2∶3
c．3∶4d．1∶3
【突破訓練】．(1)(2012·新課標全國卷)已知為等比數列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，則a1＋a10＝( )
a．7b．5 c．－5d．－7
(2)(2012·成都模擬)已知是等比數列，a2＝2，a5＝，則a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝( )
a．16(1－4) b．16(1－2) c. (1－4d. (1－2)
等差與等比數列的綜合性問題
【例4】 (2011·湖北)成等差數列的三個正數的和等於15，並且這三個數分別加上2、5、13後成為等比數列中的b3、b4、b5.
(1)求數列的通項公式；
(2)數列的前n項和為sn，求證：數列是等比數列．
【突破訓練】（1）（2023年四川卷）在等比數列中，，且為和的等差中項，求數列的首項、公比及前項和。
（2）． (2012·山東高考)已知等差數列的前5項和為105，且a10＝2a5.
(1)求數列的通項公式；
(2)對任意m∈n*，將數列中不大於72m的項的個數記為bm.求數列的前m項和sm.
分類討論思想在等比數列前n項和中的應用
【例5】】設等比數列的公比為q，前n項和sn>0(n＝1,2,3，…)．則q的取值範圍為________．
.【突破訓練】等比數列中，a3＝，s3＝，求an及前n項和sn.
課後作業
一、選擇題
1．設數列是等比數列，前n項和為sn，若s3＝3a3，則公比q為( )
ab．1
c．－或1d.
2．(2012·東城模擬)設數列滿足：2an＝an＋1(an≠0)(n∈n*)，且前n項和為sn，則的值為( )
ab.c．4d．2
3．(2012·安徽高考)公比為2的等比數列的各項都是正數，且a3a11＝16，則log2a10＝( )
a．4b．5
c．6d．7
4．(2013·太原模擬)各項均為正數的等比數列的前n項和為sn，若sn＝2，s3n＝14，則s4n等於( )
a．80b．30
c．26d．16
二、填空題
5．已知各項不為0的等差數列，滿足2a3－a＋2a11＝0，數列是等比數列，且b7＝a7，則b6b8
6．(2012·江西高考)等比數列的前n項和為sn，公比不為1.若a1＝1，則對任意的n∈n*，都有an＋2＋an＋1－2an＝0，則s5
7．(2012·西城期末)已知是公比為2的等比數列，若a3－a1＝6，則a1
三、解答題
8．設數列的前n項和為sn，a1＝1，且數列是以2為公比的等比數列．
(1)求數列的通項公式；
(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.
9．設數列的前n項和為sn，其中an≠0，a1為常數，且－a1，sn，an＋1成等差數列．
(1)求的通項公式；
(2)設bn＝1－sn，問：是否存在a1，使數列為等比數列？若存在，求出a1的值；若不存在，請說明理由．
等比數列的前n項和
一 教學目標 1 掌握等比數列的前n項和公式及其推導思想和過程，會用等比數列求和公式進行計算，解決相關問題 2 通過實際問題，激發學生的學習興趣和強烈的求知慾 通過引導學生 等比數列的前n項和公式，讓學生感受如何去分析問題 解決問題，提高學生的綜合能力 培養學生的歸納 分類討論 知識遷移的能力 通過...
等比數列前n項和公式
本節課主要學習等比數列前n項和公式的有關內容.二 等比數列前n項和的性質 1 sn m sn qnsm 2 若項數為2n,則 3 sn,s2n sn,s3n s2n成等比數列.例1 在等比數列的前n項中,a1最小,且a1 an 66,a2an 1 128,前n項和sn 126,求n和公式q.例2 已...
等比數列的前n項和公式
授課內容備註 課題 等比數列的前n項和公式 教學目標 知識目標 1 要求學生掌握求等比數列前n項的和的 公式 並了解推導公式所用的方法。技能目標 2 每乙個學生會直接應用求和公式計算，學會簡單的變形應用 德育目標 3 培養學生分析問題的能力和解決實際問題的能力，有特殊到 一般的認知規律 教材分析 教...