十二類遞推數列求通項公式
對於遞推公式確定的數列的求解，通常可以通過遞推公式的變換，轉化為等差數列或等比數列問題，有時也用到一些特殊的轉化方法與特殊數列。
型別1遞推公式為
解法：把原遞推公式轉化為，利用累加法求解。
例1．已知數列滿足，求。
型別2遞推公式為
解法：把原遞推公式轉化為，利用累乘法求解。
例2．已知數列滿足，求
型別3遞推公式為（其中p，q均為常數，）。
解法：把原遞推公式轉化為：
其中，再利用換元法轉化為等比數列求解。
例3．已知數列中，，求。
型別4遞推公式為（其中p，q均為常數，）。
解法：該型別較型別3要複雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：
引入輔助數列（其中），得：
再應用型別3的方法解決。
例4．已知數列中，，求。
型別5遞推公式為（其中p，q均為常數），即二階遞推數列。
解法：先把原遞推公式轉化為
其中s，t滿足，再應用前面型別的方法求解。
例5．已知數列中，，求。
型別6：遞推公式為與的關係式。
解法：利用進行求解。
例6．已知數列前n項和。
（1）求與的關係； （2）求通項公式。
例7． 已知數列中，，
，求解法：
設 例8．已知數列中，，求.
型別8：，（，，均為常數）
解法：兩邊同除以，構造數列
例9．各項均不為零的數列，首項=1，且對於任意均有（或），求
例10．合肥市2013二模20t
各項均不為零的數列，首相，且對於任意均有
（1）求數列的通項公式；
（2）此處不要求做。[若數列的前n項和為，證明：當時，
]型別9：指數型數列
解法：兩邊取對數
例11．已知數列滿足，求。
例12．已知，求
型別10：奇偶項數列
解法：作差或作商得，相間項成等差或成等比數列
例13、（1）在數列中，，求
（2）、在數列中，，求
型別11：雙數列型
解法：根據所給兩個數列遞推公式的關係，靈活採用累加、累乘、化歸等方法求解。
例14．已知數列中，；數列中，。當時，，求。
型別12：的數列
對於數列，是常數且）
其特徵方程為，變形為…②
若②有二異根，則可令（其中是待定常數），代入的值可求得值。
這樣數列是首項為，公比為的等比數列，於是這樣可求得
若②有二重根，則可令（其中是待定常數），代入的值可求得值。
這樣數列是首項為，公差為的等差數列，於是這樣可求得
例15．已知數列滿足，求數列的通項
例16．已知數列滿足，求數列的通項
數列求和的八種方法
數列是高中代數的重要內容。在高考和各種數學競賽中都占有重要地位。數列求和是數列的重要內容之一，除了等差數和等比數列有求和公式外，大部分數列的求和都需要一定的技巧。
在數列求和過程中，根據數列的特點，採用適當的方法，定能較快、準確的求解
型別1：利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是數列求和的最基本最重要的方法。
等差數列求和公式：
等比數列求和公式：當q≠1時，s=
當q=1時，s= na
常用求和公式：s= 1 + 2 +…+ n =，
s= 例1、已知logx =，求x + x +…x的值。
例2、設s=1+2+3+…+n，n∈n，求的最大值。
型別2：錯位相減法求和
這種方法主要用於數列｛a·b｝的前n項和，其中,分別是等差數列和等比數列，且的公比不為1。
例3、求和：
型別3：倒序相加法求和
倒序相加法求和即是將乙個數列倒過來排列，再把它與原數列相加，就可以得到n個（）
例4、函式f(x)對任意x∈r都有f(x)+f(1-x)=.
（1）f()和f()+f() (n∈n)的值；
（2）數列{}滿足： = f(0)+f()+f()…+f()+f(1)，求
型別4：分項求和
有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常數列或特殊數列，然後分別求和，再將其合併。
例5、求數列的前n項和s。
型別5：裂項求和
裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然後重新組合，使之消去一些項，最終達到求和的目的。
例6、求數列，,，…，…的前n項和
型別6：併項求和
針對一些特殊的數列，將某些項合併在一起就具有某種特殊的性質。因此，在求和時，可將這些項先合併在一起求和，然後再求。
例7、在各項均為正數的等比數列{}中，若=9,求的值。
型別7：利用數列的通項求和
利用數列的通項揭示的規律來求數列的前n項和，是乙個重要的方法。
例8、求1+11+111+…+之和
型別8：與絕對值相關的求和
此類題需根據通項確定各項的正、負，再去掉絕對值。
例9、數列{}中, =8, =2且滿足(n∈)，設|，求。
答案：十二類遞推數列求通項公式
對於遞推公式確定的數列的求解，通常可以通過遞推公式的變換，轉化為等差數列或等比數列問題，有時也用到一些特殊的轉化方法與特殊數列。
型別1遞推公式為
解法：把原遞推公式轉化為，利用累加法求解。
例1.已知數列滿足，求。
解：由條件知：
分別令，代入上式得個等式累加之，即
所以又因為
所以型別2遞推公式為
解法：把原遞推公式轉化為，利用累乘法求解。
例2.已知數列滿足，求。
解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即
所以， 又因為，所以。
型別3遞推公式為（其中p，q均為常數，）。
解法：把原遞推公式轉化為：
其中，再利用換元法轉化為等比數列求解。
例3.已知數列中，，求。
解：設遞推公式
可以轉化為
即，所以
故遞推公式為
令，則，且
所以是以為首項，2為公比的等比數列，則，所以
型別4遞推公式為（其中p，q均為常數，）。
解法：該型別較型別3要複雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：
引入輔助數列（其中），得：
再應用型別3的方法解決。
例4.已知數列中，，求。
解：在兩邊乘以得：
令，則應用例3解法得：
所以型別5遞推公式為（其中p，q均為常數）。
解法一：（待定係數法）先把原遞推公式轉化為
其中s，t滿足，再應用前面型別的方法求解。
例5.已知數列中，，求。
解法一：由可轉化為
即所以，解得：或
這裡不妨選用（當然也可選用，大家可以試一試），則
所以是以首項為，公比為的等比數列
所以應用型別1的方法，令，代入上式得個等式累加之，即
，又因為，所以。注：對於（p、q均為常數），若p+q=1時，則
直接構造乙個等比數列解決問題
解法二：特徵根法
令，，得到特徵方程，若特徵方程有兩同根，即，則通解，若特徵方程有兩異根，即，則通解
因為特徵方程為，即（3x+1）(x-1)=0, ,所以，
解得分別為，所以
型別6遞推公式為與的關係式。
解法：利用進行求解。
例6.已知數列前n項和。
（1）求與的關係；
（2）求通項公式。
解：（1）由得：
於是所以，即
（2）應用型別4的方法，上式兩邊同乘以得：
由，得：
於是數列是以2為首項，2為公差的等差數列，所以，故
例7. 已知數列中，，
，求型別7：（p，q均為常數）
解法：例8. 已知數列中，，求.
型別8：，（，，均為常數）
解法：兩邊同除以，構造數列
例9.各項均不為零的數列，首項=1，且對於任意均有（或），求
例10合肥市2010二模20t
各項均不為零的數列，首相，且對於任意均有
（1）求數列的通項公式；
（2）此處不要求做。[若數列的前n項和為，證明：當時，
]解：（1）由
得，則所以是以3為公比，為首項的等比數列
4分（2）當時，
令則所以]13分
型別9：指數型數列
解法：兩邊取對數
例11已知數列滿足，求。
例12．已知
遞推式兩邊同取對數，得
令，則，
已轉化為「型」，由累乘相消法可得型別10：奇偶項數列
解法：作差或作商得，相間項成等差或成等比數列
例13、1、在數列中，，求
2、在數列中，，求
解：1、
（2）-（1）得：
當時，，
即當時，，
即2、，
當時，，
即當時，，
即型別11雙數列型
解法：根據所給兩個數列遞推公式的關係，靈活採用累加、累乘、化歸等方法求解。
例14.已知數列中，；數列中，。當時，
，求。解：因
所以即，又因為所以即
由<1>、<2>得：
型別12：的數列
對於數列，是常數且）
其特徵方程為，變形為…②
若②有二異根，則可令（其中是待定常數），代入的值可求得值。
這樣數列是首項為，公比為的等比數列，於是這樣可求得
若②有二重根，則可令（其中是待定常數），代入的值可求得值。
這樣數列是首項為，公差為的等差數列，於是這樣可求得
例15.已知數列滿足，求數列的通項
解：其特徵方程為，化簡得，解得，令
由得，可得，
數列是以為首項，以為公比的等比數列，，
例16.已知數列滿足，求數列的通項
解：其特徵方程為，即，解得，令
由得，求得，
數列是以為首項，以為公差的等差數列，，
列求和的八種方法
數列是高中代數的重要內容。在高考和各種數學競賽中都占有重要地位。數列求和是數列的重要內容之一，除了等差數和等比數列有求和公式外，大部分數列的求和都需要一定的技巧。
型別1：利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是數列求和的最基本最重要的方法。
等差數列求和公式：
等比數列求和公式：當q≠1時，s=
當q=1時，s= na
常用求和公式：s= =1 + 2 +…+ n =
s=1 + 2 +…+n = n(n+1)(2n+1)
s=1 +2 +…+n =[n(n+1)]
例1、已知logx =，求x + +…+的值。
解：由logx = logx= -log2 x = ，由等比數列式求和公式得：s= x + x +…+ x = =1-
例2、設s=1+2+3+…+n，n∈n，求的最大值。
解：由等差數列求和公式得s=n(n+1)，s=(n+1)(n+2),
∴= 當且僅當n =，即n=8時，取最大值。
型別2：錯位相減法求和
這種方法主要用於數列｛a·b｝的前n項和，其中,分別是等差數列和等比數列，且的公比不為1。
例3、求和：1+3a+5a+7a+…+(2n-1)a(a≠0)
數列求和常見的7種方法
數列求和的基本方法和技巧 一 總論 數列求和7種方法 利用等差 等比數列求和公式 錯位相減法求和 反序相加法求和 分組相加法求和 裂項消去法求和 分段求和法 合併法求和 利用數列通項法求和 二 等差數列求和的方法是逆序相加法，等比數列的求和方法是錯位相減法，三 逆序相加法 錯位相減法是數列求和的二個...
數列求和方法及鞏固
數列求和的方法 1 公式法 如果乙個數列是等差 等比數列或者是可以轉化為等差 等比數列的數列，我們可以運用等差 等比數列的前n項和的公式來求.等差數列求和公式 等比數列求和公式 常見的數列的前n項和 1 3 5 2n 1 2 倒序相加法 類似於等差數列的前n項和的公式的推導方法。如果乙個數列，與首末...
數列的求和,涵蓋所有高中數列求和的方法
數列的求和 一 教學目標 1 熟練掌握等差數列與等比數列的求和公式 2 能運用倒序相加 錯位相減 拆項相消等重要的數學方法進行求和運算 3 熟記一些常用的數列的和的公式 二 教學重點 特殊數列求和的方法 三 教學過程 一 主要知識 1 直接法 即直接用等差 等比數列的求和公式求和。1 等差數列的求和...