數列求和的方法
1、公式法：
如果乙個數列是等差、等比數列或者是可以轉化為等差、等比數列的數列，我們可以運用等差、等比數列的前n項和的公式來求.
①等差數列求和公式：
②等比數列求和公式：
常見的數列的前n項和：， 1+3+5+……+(2n-1)=.
2、倒序相加法：
類似於等差數列的前n項和的公式的推導方法。如果乙個數列，與首末兩項等距的兩項之和等於首末兩項之和，可採用正序寫和與倒序寫和的兩個和式相加，就得到乙個常數列的和。這一種求和的方法稱為倒序相加法.
例1、 已知函式
（1）證明：；
（2）求的值.
解：（1）先利用指數的相關性質對函式化簡，後證明左邊=右邊
（2）利用第（1）小題已經證明的結論可知，
兩式相加得：
所以.小結：解題時，認真分析對某些前後具有對稱性的數列，可以運用倒序相加法求和.
針對訓練3、求值：
3、錯位相減法：
類似於等比數列的前n項和的公式的推導方法。若數列各項是由乙個等差數列和乙個等比數列對應項相乘得到，即數列是乙個「差·比」數列，則採用錯位相減法.
若，其中是等差數列，是公比為等比數列，令
則兩式相減並整理即得
例2、（2023年全國ⅰ第19題第（2）小題，滿分6分）
已知，求數列｛an｝的前n項和sn.
解： ①
②—①得
小結：錯位相減法的求解步驟：①在等式兩邊同時乘以等比數列的公比；②將兩個等式相減；③利用等比數列的前n項和的公式求和.
針對訓練4、求和：
4、裂項相消法：
把數列的通項拆成兩項之差，即數列的每一項都可按此法拆成兩項之差，在求和時一些正負項相互抵消，於是前n項的和變成首尾若干少數項之和，這一求和方法稱為裂項相消法。適用於類似（其中是各項不為零的等差數列，為常數）的數列、部分無理數列等。用裂項相消法求和，需要掌握一些常見的裂項方法：
（1），特別地當時，
（2），特別地當時
例3、數列的通項公式為，求它的前n項和
解：=小結：裂項相消法求和的關鍵是數列的通項可以分解成兩項的差，且這兩項是同一數列的相鄰兩項，即這兩項的結構應一致，並且消項時前後所剩的項數相同.
針對訓練5、求數列的前n項和.
5、分組求和法：
有一類數列，它既不是等差數列，也不是等比數列.若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比數列或常見的數列，然後分別求和，再將其合併即可.
例4、求和：
解： 小結：這是求和的常用方法，按照一定規律將數列分成等差（比）數列或常見的數列，使問題得到順利求解.
針對訓練6、求和：
基本練習
1.等比數列的前ｎ項和sｎ＝2ｎ－１，則34
5. 數列的通項公式 ，前n項和
6 的前n項和為_________
提高練習
1．數列滿足：a1＝1，且對任意的m，n∈n*都有：am＋n＝am＋an＋mn，則
a． b． c． d．
2．數列、都是公差為1的等差數列，若其首項滿足a1＋b1＝5，a1＞b1，且a1，b1∈n*，則數列{}前10項的和等於
a．100 b．85 c．70 d．55
3．設m=1×2+2×3+3×4+…+(n-1)·n，則m等於
a. b.n(n+4) c.n(n+5) d.n(n+7)
4．若sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n，則s17+s33＋ｓ50等於
a.1b.-1c.0d.2
5．設為等比數列,為等差數列，且b1=0,cn=an+bn,若數列是1,1,2,…,則的前10項和為
a.978 b.557 c.467 d.979
6．1002-992+982-972+…+22-12的值是
a.5000 b.5050 c.10100 d.20200
7．乙個有2001項且各項非零的等差數列，其奇數項的和與偶數項的和之比為
9．已知等差數列的首項a1＝1，公差d＞0，且其第二項、第五項、第十四項分別是等比數列的第
二、三、四項．
(1)求數列與的通項公式；
(2)設數列對任意自然數n均有成立．
求c1＋c2＋c3＋…＋c2003的值．
10．已知數列的前n項和sn滿足:sn=2an+(-1)n,n≥1.
(1)求證數列是等比數列;
(2)求數列的通項公式；
(3)證明：對任意的整數m>4,有
基礎練習答案
1、2、3、4、5、6。
提高練習答案
1．解：∵am＋n＝am＋an＋mn，∴an＋1＝an＋a1＋n＝an＋1＋n，
∴利用疊加法得到：，∴，∴．
答案：a.
2．解：∵an＝a1＋n－1，bn＝b1＋n－1
∴＝a1＋bn－1＝a1＋(b1＋n―1)―1
＝a1＋b1＋n－2＝5＋n－2＝n＋3
則數列{}也是等差數列，並且前10項和等於：
答案：b.
3．解：因為 an=n2-n.，則依據分組集合即得.
答案;a.
4．解：對前n項和要分奇偶分別解決，即： sn=
答案：a
5．解由題意可得a1=1,設公比為q,公差為d,則
∴q2-2q=0,∵q≠0,∴q=2,∴an=2n-1,bn=(n-1)(-1)=1-n,∴cn=2n-1+1-n,∴sn=978.
答案：a
6．解：併項求和，每兩項合併，原式=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.
答案：b
7． 解： 設此數列,其中間項為a1001,
則s奇=a1+a3+a5+…+a2001=1001·a1001,s偶=a2+a4+a6+…+a2000=1000a1001.
答案:8．解： 原式=
答案：9．解：(1)由題意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2(d＞0)
解得d＝2，∴an＝2n－1，可得bn＝3n－1
(2)當n＝1時，c1＝3；
當n≥2時，由，得cn＝2·3n－1，
故故c1＋c2＋c3＋…＋c2003＝3＋2×3＋2×32＋…＋2×32002＝32003．
10．(1)證明由已知得an=sn-sn-1=2an+(-1)n-2an-1-(-1)n-1(n≥2),
化簡得 an=2an-1+2(-1)n-1(n≥2),
上式可化為 an+(-1)n=2［an-1+(-1)n-1］(n≥2),∵a1=1,∴a1+(-1)1=.
故數列是以為首項，公比為2的等比數列.
(2)解由（1）可知an+(-1)n=.
∴an=×2n-1-(-1)n=［2n-2-(-1)n］,故數列的通項公式為 an=［2n-2-(-1)n］.
(3)證明由已知得===故
數列求和方法
1.公式法 等差數列求和公式 sn n a1 an 2 na1 n n 1 d 2 等比數列求和公式 sn na1 q 1 sn a1 1 qn 1 q a1 an q 1 q q 1 2.錯位相減法 適用題型 適用於通項公式為等差的一次函式乘以等比的數列形式 分別是等差數列和等比數列.sn a1b...
數列求和方法
數列是高中代數的重要內容，又是學習高等數學的基礎。而數列求和又是數列問題的精髓,重中之重，往往是進一步處理問題的基礎,常與函式 不等式 極限糅合命題，有一定的綜合性.除了等差數列和等比數列有求和公式外，大部分數列的求和都需要一定的技巧。下面就把我的積累與大家分享，不當之處，敬請批評指正。一 利用常用...
數列求和方法總結
1 直接求和 適用於等差數列或等比數列的求和 指前項和 問題,在四個量 或 中,已知三個量時,可以求出來,我們簡稱為 知三求和 問題.它們的求和問題可以直接利用求和公式解決.等差數列前項和公式 已知時,利用公式求和 已知時,利用公式求和.等比數列前項和公式 已知時,利用公式求和 已知時,利用公式 求...