數列是高中代數的重要內容，數列求和是數列的重要內容之一，除了等差數列和等比數列有求和公式外，大部分數列的求和都需要一定的技巧.
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是數列求和的最基本最重要的方法.
1、 等差數列求和公式：
2、等比數列求和公式：
34、5、
例1 例1：求數列，，，…，，…的前n項和。
解：＝＋＋＋…＋
＝（1＋2＋3＋…＋n）+
==例2是否存在常數a,b,c使得等式1·22+2·32+……+n(n+1)2= (an2+bn+c)對一切自然數n都成立？並證明你的結論。
解析：考查數列通項公式an=n(n+1)2=n3+2n2+n，則
1·22=13+2·12+1，2·32=23+2·22+2……
故1·22+2·32+…+n(n+1)2=(13+23+…+n3)+2(12+22+…+n2)+(1+2+…+n)
=+2·+
= [3n(n+1)+4(2n+1)+6]= (3n2+11n+10),
故對於一切自然數n都存在a=3,b=11,c=10，使題設等式成立。
(其中12+22+……+n2=n(n+1)(2n+1)，13+23+……+n3=).
評注：直接運用等差數列或等比數列求和公式及正數平方和，立方和公式來求解。
例3. 求數列1,（3+5）,（7+9+11）,（13+15+17+19）,…,前n項的和。
解：在數列的前n項中共有1+2+3+…+n=個奇數，
故最未乙個奇數為：2·
因此，所求數列的前n項和為：sn=
練習1 求和s=1·（n2-1）+2·（n2-22）+3·（n2-32）+…+n（n2+n2）
解：s =（1+2+3+…+n）n2
點評：此例在解法上與例2類似，它通過適當的變形採用化歸思想，以公式法為基礎達到了解題的目的。
二、錯位相減法求和
這種方法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用於求數列的前n項和，其中、分別是等差數列和等比數列.
例4]求數列前n項的和.
解：由題可知，{}的通項是等差數列的通項與等比數列{}的通項之積
設……………①
………② （設制錯位）
①－②得 （錯位相減）
∴例5 求和：………①
解：由題可知，{}的通項是等差數列的通項與等比數列{}的通項之積
設………. ② （設制錯位）
①－②得 （錯位相減）
再利用等比數列的求和公式得：
這樣對嗎？
三、倒序相加法求和
這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將乙個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個.若乙個數列和的各項係數是「首尾」對稱的，則可採用此法。
例6 求證：
證明： 設
又有 （反序）
又由可得 ②
①+②得 （反序相加
例7 求的值
解：設 ①
將①式右邊反序得
反序）又因為①+②得＝89
∴ s＝44.5
練習：1 求和：sn=
解：sn=
又兩式相加，並由得
∴練習2．已知函式f(x)滿足對一切實數x，有，記
，求。解：∵
∴上兩式相加，得
四、分組法求和
有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然後分別求和，再將其合併即可.
例8 求數列的前n項和：，…
解：設將其每一項拆開再重新組合得
（分組）
當a＝1時分組求和）
當時，＝
例9 求數列的前n項和.
解：設 ∴ ＝
將其每一項拆開再重新組合得
sn＝ （分組）
＝分組求和）
五、分類法。
例10：已知數列的前n項和sn=10n-n2(n∈n*)，又bn=|an|，求的前n項和tn.
解析：當n≥2時，an=sn-sn-1=11-2n，又當n=1時，a1=s1=9適合上式，
∴an=11-2n(n∈n*)，則易知a5>0,a6<0，
故當n≤5時，bn=an，即tn=sn=10n-n2，
當n>5時，bn=-an，則tn=a1+a2+……+a5-a6-a7-……-an=2s5-sn
=50-(10n-n2)=n2-10n+50，
即tn=.
評注：當數列通項公式中含(-1)n的因式時，需分n為偶數時和n為奇數時來討論解決。
例11．乙個數列，當n為奇數時，；當n為偶數時，；求這個數列的前n項和。
解：∵∴構成首項是6，公差是10的等差數列，
構成首項是2，公比是2的等比數列。
∴當n=2m時，
當n=2m＋1時，
練習：1求數列的前n項和
解：當n為奇數時，
當n為偶數時，
點評：本題也可用錯位相減法求和，但仍需分n為奇偶討論。
六、裂項法求和
這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用. 裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然後重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的. 通項分解（裂項）如：
（1） （2）n·n！=(n+1)!－n!、cn－1r－1=cnr－cn－1r
（3）（4）（5）(6)
例12 求數列的前n項和.
解：設 （裂項）
則 （裂項求和）
＝＝例13．求數列1，的前n項和
∴點評：例5中的求和，首先需對通項an的分母求和，然後再採用裂項求和，這是一道數列求和的綜合考查題，考查學生的觀察能力和綜合運用知識的能力。
例14.求和：
解：則原式=
==評注：如果數列的通項公式可轉化為f(n+1)-f(n)形式，可嘗試採用此法，使用此法時必須注意有哪些項被消去，哪些項被保留。
例15：求證：1+++……+>2-2
解析：由於=>=2()，故1>2(-1)， >2(-)， >2(-)，則1+++……+>2[(-1)+
2()>2-2.
練習：1 在數列中，，又，求數列的前n項的和.
解：∵ ∴ （裂項）
∴ 數列的前n項和
（裂項求和）
六、合併法求和
針對一些特殊的數列，將某些項合併在一起就具有某種特殊的性質，因此，在求數列的和時，可將這些項放在一起先求和，然後再求sn.
例16 數列：，求s2002.
解：設s2002＝
由可得……
∵ （找特殊性質項）
∴ s2002合併求和）
＝＝＝＝5
練習：1 在各項均為正數的等比數列中，若的值.
解：設由等比數列的性質 （找特殊性質項）
和對數的運算性質得
（合併求和）
＝＝ ＝10
七、利用數列的通項求和
先根據數列的結構及特徵進行分析，找出數列的通項及其特徵，然後再利用數列的通項揭示的規律來求數列的前n項和，是乙個重要的方法.
[例17] 求之和.
解：由於找通項及特徵）
∴＝ （分組求和）＝＝＝
[例16] 已知數列：的值.
解：∵ （找通項及特徵設制分組）
裂項）∴ （分組、裂項求和） ＝＝
數列求和的基本方法
一 公式法 利用等差 等比數列的前n項和公式進行求和 例1 等比數列中，求數列的前n項和 二 週期轉化法 如果乙個數列具有週期性，那麼只要求出了數列在乙個週期內各項的和，就可以利用這個和與週期的性質對數列的前n項和進行轉化合併 例2 已知數列中，求的值 三 分類轉化法 對於一些 擺動 型 項按一定的...
數列求和的基本方法歸納
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