1. 公式法:
等差數列求和公式:sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2
等比數列求和公式:sn=na1(q=1)
sn=a1(1-qn)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)
2.錯位相減法
適用題型:適用於通項公式為等差的一次函式乘以等比的數列形式
、分別是等差數列和等比數列. sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn
例如:an=a1+(n-1)d
bn=a1·q(n-1)
cn=anbn
tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4....+anbn
qtn=a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)
tn-qtn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)
tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn)
=a1b1-an·b1·qn+d·b2[1-q(n-1)]/(1-q)
tn=上述式子/(1-q)
3.倒序相加法
這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法,就是將乙個數列倒過來排列(反序),再把它與原數列相加,就可以得到n個(a1+an)
sn =a1+ a2+ a3+...... +an
sn =an+ a(n-1)+a(n-3)...... +a1
上下相加得到2sn 即 sn= (a1+an)n/2
4.分組法
有一類數列,既不是等差數列,也不是等比數列,若將這類數列適當拆開,可分為幾個等差、等比或常見的數列,然後分別求和,再將其合併即可.
例如:an=2n+n-1
5.裂項法
適用於分式形式的通項公式,把一項拆成兩個或多個的差的形式,即an=f(n+1)-f(n),然後累加時抵消中間的許多項。
常用公式:
(1)1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
(2)1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
(3)1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
(4)1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
(5) n·n!=(n+1)!-n!
[例] 求數列an=1/n(n+1) 的前n項和.
解:an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) (裂項)
則sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)(裂項求和)
= 1-1/(n+1)
= n/(n+1)
小結:此類變形的特點是將原數列每一項拆為兩項之後,其中中間的大部分項都互相抵消了。只剩下有限的幾項。
注意: 餘下的項具有如下的特點
1餘下的項前後的位置前後是對稱的。
2餘下的項前後的正負性是相反的。
6.數學歸納法
一般地,證明乙個與正整數n有關的命題,有如下步驟:
(1)證明當n取第乙個值時命題成立;
(2)假設當n=k(k≥n的第乙個值,k為自然數)時命題成立,證明當n=k+1時命題也成立。
例:求證:
1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5
證明:當n=1時,有:
1×2×3×4 + 2×3×4×5 = 2×3×4×5×(1/5 +1) = 2×3×4×5×6/5
假設命題在n=k時成立,於是:
1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5
則當n=k+1時有:
1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)
= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5
即n=k+1時原等式仍然成立,歸納得證
7.通項化歸
先將通項公式進行化簡,再進行求和。
如:求數列1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,……的前n項和。此時先將an求出,再利用分組等方法求和。
8.併項求和:
例:1-2+3-4+5-6+……+(2n-1)-2n
方法一:(併項)
求出奇數項和偶數項的和,再相減。
方法二:
(1-2)+(3-4)+(5-6)+……+[(2n-1)-2n]
數列求和方法
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