數列是高中代數的重要內容，又是學習高等數學的基礎. 在高考和各種數學競賽中都占有重要的地位. 數列求和是數列的重要內容之一，除了等差數列和等比數列有求和公式外，大部分數列的求和都需要一定的技巧.
下面，就幾個歷屆高考數學和數學競賽試題來談談數列求和的基本方法和技巧.
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是數列求和的最基本最重要的方法. 即直接用等差、等比數列的求和公式求和。
1、 等差數列求和公式：
2、等比數列求和公式：
3、4、5、1、 已知，求的前n項和.
解：由 由等比數列求和公式得 ＝＝＝1－
2、 已知數列，（x≠0），數列的前n項和，求。
解：當x=1時， 當x≠1時，為等比數列，公比為x由等比數列求和公式得
3、 （07高考山東文18）設是公比大於1的等比數列，為數列的前項和．已知，且構成等差數列．
（1）求數列的等差數列．
（2）令求數列的前項和．
解：（1）由已知得解得． 設數列的公比為，由，可得．又，可知，即，解得．由題意得．．故數列的通項為．
（2）由於由（1）得 ， 又
是等差數列故．
4、 設sn＝1+2+3+…+n，n∈n*,求的最大值.
解：由等差數列求和公式得， （利用常用公式）
∴ 當，即n＝8時，
二、錯位相減法求和
這種方法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用於求數列的前n項和，其中、分別是等差數列和等比數列.
5、 求和
解：由題可知，{}的通項是等差數列的通項與等比數列{}的通項之積
設設制錯位）
①－②得 （錯位相減）
再利用等比數列的求和公式得：
6、 求數列前n項的和.
解：由題可知，{}的通項是等差數列的通項與等比數列{}的通項之積
設設制錯位）
①－②得
7、 （07高考全國ⅱ文21）設是等差數列，是各項都為正數的等比數列，且，，（ⅰ）求，的通項公式；（ⅱ）求數列的前n項和．
解：（ⅰ）設的公差為，的公比為，則依題意有且
解得，．所以
②－①得，
．8、 等比數列{}的前n項和為，已知對任意的，點均在函式且均為常數)的影象上. （1）求r的值；（11）當b=2時，記求數列的前項和
解:因為對任意的,點，均在函式且均為常數)的影象上.所以得,當時,, 當時,,
又因為{}為等比數列, 所以, 公比為, 所以
（2）當b=2時，,則
相減,得
所以9、 函式，當時，的所有整數值的個數為
（1）求的表示式（2）設，求
（3）設，若，求的最小值
解：（1）當時，函式單調遞增，則的值域為
（2）由（1）得當為偶數時
當為奇數時= =
（3）由得兩式相減得
，則由，可得的最小值為7
10、 （2010四川理）（21）（本小題滿分12分）
已知數列滿足a1＝0，a2＝2，且對任意m、n∈n*都有a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2（ⅰ）求a3，a5；
（ⅱ）設bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈n*)，證明：是等差數列；
（ⅲ）設cn＝(an+1－an)qn－1(q≠0，n∈n*)，求數列的前n項和sn.
本小題主要考查數列的基礎知識和化歸、分類整合等數學思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力.
解：(1)由題意，零m＝2,n=1,可得a3＝2a2－a1＋2＝6 再令m＝3,n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝20… (2)當n∈n *時，由已知(以n＋2代替m)可得a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8於是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8
即 bn＋1－bn＝8所以是公差為8的等差數列5分
(3)由(1)(2)解答可知是首項為b1＝a3－a1＝6,公差為8的等差數列則bn＝8n－2，即a2n+=1－a2n－1＝8n－2
另由已知(令m＝1)可得an＝-(n－1)2.那麼an＋1－an＝－2n＋1
2n＋1＝2n於是cn＝2nqn－1.當q＝1時，sn＝2＋4＋6＋……＋2n＝n(n＋1)
當q≠1時，sn＝2·q0＋4·q1＋6·q2＋……＋2n·qn－1.兩邊同乘以q，可得 qsn＝2·q1＋4·q2＋6·q3＋……＋2n·qn.
上述兩式相減得 (1－q)sn＝2(1＋q＋q2＋……＋qn－1)－2nqn ＝2·－2nqn ＝2·
所以sn＝2·綜上所述，sn12分
11、 （安慶市四校元旦聯考）（本題滿分16分）各項均為正數的數列中，是數列的前項和，對任意，有 ；⑴求常數的值； ⑵求數列的通項公式；
⑶記，求數列的前項和。
解：（1）由及，得：
（2）由得
由②—①，得即：
由於數列各項均為正數， 即
數列是首項為，公差為的等差數列， 數列的通項公式是
（3）由，得：
12、 （2009廣東三校一模）,是方程的兩根,數列的前項和為,且(1)求數列,的通項公式;(2)記=,求數列的前項和.
解：(1)由.且得在中,令得當時,t=,
兩式相減得8分
(29分
,, 10分
=214分
數列求和的基本方法和技巧
就幾個歷屆高考數學和數學競賽試題來談談數列求和的基本方法和技巧.一 利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是數列求和的最基本最重要的方法.1 等差數列求和公式 2 等比數列求和公式 34 5 例1 已知，求的前n項和.解 由 由等比數列求和公式得利用常用公式 1 例2 設sn 1 2 3 n...
專題 數列求和的基本方法和技巧
新泰一中閆輝 數列是高中代數的重要內容，又是學習高等數學的基礎.在高考和各種數學競賽中都占有重要的地位.數列求和是數列的重要內容之一，除了等差數列和等比數列有求和公式外，大部分數列的求和都需要一定的技巧.下面，就幾個歷屆高考數學和數學競賽試題來談談數列求和的基本方法和技巧.一 利用常用求和公式求和 ...
專題 數列求和的基本方法和技巧
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