2023年高考題
一、選擇題
1．（天津理4）已知為等差數列，其公差為-2，且是與的等比中項，為
的前項和，，則的值為
a．-110b．-90
c．90d．110
【答案】d
2．（四川理8）數列的首項為，為等差數列且．若則，，則
a．0 b．3c．8d．11
【答案】b
【解析】由已知知由疊加法
3．（全國大綱理4）設為等差數列的前項和，若，公差，，則
a．8b．7c．6d．5
【答案】d
4．（江西理5） 已知數列{}的前n項和滿足：，且=1．那麼=
a．1 b．9 c．10 d．55
【答案】a
二、填空題
5．（湖南理12）設是等差數列，的前項和，且，
則【答案】25
6．（重慶理11）在等差數列中，，則
【答案】74
7．（北京理11）在等比數列中，a1=，a4=-4，則公比q2
【答案】
8．（廣東理11）等差數列前9項的和等於前4項的和．若，則k
【答案】10
9．（江蘇13）設，其中成公比為q的等比數列，成公差為1的等差數列，則q的最小值是________
【答案】
三、解答題
10．（江蘇20）設ｍ部分為正整數組成的集合，數列，前n項和為，已知對任意整數km，當整數都成立
（1）設的值；
（2）設的通項公式
本小題考查數列的通項與前項和的關係、等差數列的基本性質等基礎知識，考查考生分析**及邏輯推理的能力，滿分16分。
解：（1）由題設知，當，
即，從而所以的值為8。
（2）由題設知，當
，兩式相減得
所以當成等差數列，且也成等差數
列 從而當時， （*）
且，即成等差數列，
從而，故由（*）式知
當時，設
當，從而由（*）式知
故從而，於是
因此，對任意都成立，又由可知，
解得因此，數列為等差數列，由
所以數列的通項公式為
11．（北京理20）
若數列滿足，數列為數列，記=．
（ⅰ）寫出乙個滿足，且〉0的數列；
（ⅱ）若，n=2000，證明：e數列是遞增數列的充要條件是=2011；
（ⅲ）對任意給定的整數n（n≥2），是否存在首項為0的e數列，使得=0？如果存在，寫出乙個滿足條件的e數列；如果不存在，說明理由。
解：（ⅰ）0，1，2，1，0是一具滿足條件的e數列a5。
（答案不唯一，0，1，0，1，0也是乙個滿足條件的e的數列a5）
（ⅱ）必要性：因為e數列a5是遞增數列，
所以.所以a5是首項為12，公差為1的等差數列.
所以a2000=12+（2000—1）×1=2011.
充分性，由於a2000—a1000≤1，
a2000—a1000≤1
……a2—a1≤1
所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999.
又因為a1=12，a2000=2011,
所以a2000=a1+1999.
故是遞增數列.
綜上，結論得證。
（ⅲ）令
因為……所以因為
所以為偶數,
所以要使為偶數,
即4整除.
當時，有
當的項滿足，
當不能被4整除，此時不存在e數列an，
使得12．（廣東理20）
設b>0,數列滿足a1=b，．
（1）求數列的通項公式；
（2）證明：對於一切正整數n，
解： （1）由
令，當①當時，
②當（2）當時，（欲證）
，當綜上所述
13．（湖北理19）
已知數列的前項和為，且滿足：，n*，．
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）若存在n*，使得，，成等差數列，是判斷：對於任意的n*，且，，，是否成等差數列，並證明你的結論．
本小題主要考查等差數列、等比數列等基礎知識，同時考查推理論證能力，以及特殊與一般的思想。（滿分13分）
解：（i）由已知可得，兩式相減可得
即又所以r=0時，
數列為：a，0，…，0，…；
當時，由已知（），
於是由可得，
成等比數列，
，綜上，數列的通項公式為
（ii）對於任意的，且成等差數列，證明如下：
當r=0時，由（i）知，
對於任意的，且成等差數列，
當，時，
若存在，使得成等差數列，
則，由（i）知，的公比，於是
對於任意的，且
成等差數列，
綜上，對於任意的，且成等差數列。
14．（遼寧理17）
已知等差數列滿足a2=0，a6+a8=-10
（i）求數列的通項公式；
（ii）求數列的前n項和．
解： （i）設等差數列的公差為d，由已知條件可得
解得故數列的通項公式為5分
（ii）設數列，即，
所以，當時，
所以綜上，數列12分
15．（全國大綱理20）
設數列滿足且
（ⅰ）求的通項公式；
（ⅱ）設
解： （i）由題設
即是公差為1的等差數列。
又所以（ii）由（i）得
8分 …………12分
16．（山東理20）
等比數列中，分別是下表第
一、二、三行中的某乙個數，且中的任何兩個數不在下表的同一列．
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）若數列滿足：，求數列的前n項和．
解：（i）當時，不合題意；
當時，當且僅當時，符合題意；
當時，不合題意。
因此所以公式q=3，
故 （ii）因為
所以 所以
當n為偶數時，
當n為奇數時，
綜上所述，
17．（上海理22） 已知數列和的通項公式分別為，（），將集合
中的元素從小到大依次排列，構成數列
。（1）求；
（2）求證：在數列中．但不在數列中的項恰為；
（3）求數列的通項公式。
解：⑴ ；
⑵ ① 任意，設，則，即
② 假設（矛盾），∴
∴ 在數列中．但不在數列中的項恰為。
⑶ ，，，
∵ ∴ 當時，依次有，……
∴ 。18．（天津理20）
已知數列與滿足：， ，且
．（ⅰ）求的值；
（ⅱ）設，證明：是等比數列；
（iii）設證明：．
本小題主要考查等比數列的定義、數列求和等基礎知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法.滿分14分.
（i）解：由
可得又（ii）證明：對任意
①②③②—③，得 ④
將④代入①，可得即又
因此是等比數列.
（iii）證明：由（ii）可得，
於是，對任意，有
將以上各式相加，得
即，此式當k=1時也成立.由④式得
從而所以，對任意，
對於n=1，不等式顯然成立.
所以，對任意
19．（浙江理19）已知公差不為0的等差數列的首項為a（）,設數列的前n項和為，且，，成等比數列
（1）求數列的通項公式及
（2）記，，當時，試比較與的大小．
本題主要考查等差數列、等比數列、求和公式、不等式等基礎知識，同時考查分類討論思想。滿分14分。
（i）解：設等差數列的公差為d，由
得因為，所以所以
（ii）解：因為，所以
因為，所以當，即
所以，當
當20．（重慶理21）
設實數數列的前n項和，滿足
（i）若成等比數列，求和；
（ii）求證：對
（i）解：由題意，
由s2是等比中項知
由解得 （ii）證法一：由題設條件有
故從而對有
①因，由①得
要證，由①只要證
即證此式明顯成立.
因此最後證若不然
又因矛盾.
因此證法二：由題設知，
故方程（可能相同）.
因此判別式
又由因此，
解得因此
由，得因此
2023年高考題
一、選擇題
1.（2010浙江理）（3）設為等比數列的前項和，，則
（a）11 （b）5 （c） （d）
解析：通過，設公比為，將該式轉化為，解得=-2，帶入所求式可知答案選d，本題主要考察了本題主要考察了等比數列的通項公式與前n項和公式，屬中檔題
2.（2010全國卷2理）（4）.如果等差數列中，，那麼
（a）14b）21c）28d）35
【答案】c
【命題意圖】本試題主要考查等差數列的基本公式和性質.
【解析】
3.（2010遼寧文）（3）設為等比數列的前項和，已知，，則公比
（a）3b）4c）5d）6
【答案】 b
解析：選b. 兩式相減得， ，.
4.（2010遼寧理）（6）設是有正數組成的等比數列，為其前n項和。已知a2a4=1, ,則
（a） (b) (c) (d)
【答案】b
【命題立意】本題考查了等比數列的通項公式與前n項和公式，考查了同學們解決問題的能力。
【解析】由a2a4=1可得，因此，又因為，聯力兩式有，所以q=,所以，故選b。
5.（2010全國卷2文）(6)如果等差數列中，++=12，那麼++…+=
（a）14 (b) 21 (c) 28 (d) 35
【答案】c
【解析】本題考查了數列的基礎知識。
∵ ，∴
6.（2010安徽文）(5)設數列的前n項和，則的值為
（a） 15b) 16c) 49d）64
【答案】 a
【解析】.
【方法技巧】直接根據即可得出結論.
7.（2010浙江文）(5)設為等比數列的前n項和，則
(a)-11b)-8
(c)5d)11
解析：通過，設公比為，將該式轉化為，解得=-2，帶入所求式可知答案選a，本題主要考察了本題主要考察了等比數列的通項公式與前n項和公式
8.（2010重慶理）（1）在等比數列中， ，則公比q的值為
a. 2 b. 3 c. 4 d. 8
【答案】a
解析：9.（2010廣東理）4. 已知為等比數列，sn是它的前n項和。若， 且與2的等差中項為，則=
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