2023年高考理科數學湖南卷試題及答案
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的
1．複數z＝i＋i2＋i3＋i4的值是
a．－1 b．0 c．1 d．i
2．函式f(x)＝的定義域是
a．－∞，0] b．[0，＋∞ c．（－∞，0） d．（－∞，＋∞）
3．已知數列（n∈n*）為等差數列，且a1＝3，a2＝5，則
a．2 b． c．1 d．
4．已知點p（x，y）在不等式組表示的平面區域上運動，則z＝x－y的取值範圍是 （ ）
a．[－2，－1] b．[－2，1] c．[－1，2] d．[1，2]
5．如圖，正方體abcd－a1b1c1d1的稜長為1，o是底面a1b1c1d1的中心，則o到平面ab c1d1的距離為 （ ）
a． b．
c． d．
6．設f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈n，則f2005(x)＝（ ）
a．sinx b．－sinx c．cosx d．－cosx
7．已知雙曲線－＝1（a＞0，b＞0）的右焦點為f，右準線與一條漸近線交於點a，△oaf的面積為（o為原點），則兩條漸近線的夾角為
a．30 b．45 c．60 d．90
8．集合a＝｛x|＜0＝，b＝｛x || x -b|＜a，若「a＝1」是「a∩b≠」的充分條件，
則b的取值範圍是 （ ）
a．－2≤b＜0 b．0＜b≤2 c．－3＜b＜－1 d．－1≤b＜2
9．4位同學參加某種形式的競賽，競賽規則規定：每位同學必須從甲．乙兩道題中任選一題作答，選甲題答對得100分，答錯得－100分；選乙題答對得90分，答錯得－90分.若4位同學的總分為0，則這4位同學不同得分情況的種數是 （ ）
a．48 b．36 c．24 d．18
10．設p是△abc內任意一點，s△abc表示△abc的面積，λ1＝， λ2＝，
λ3＝，定義f(p)=(λ1, λ, λ3),若g是△abc的重心，f(q)＝（，，），則（ ）
a．點q在△gab內 b．點q在△gbc內
c．點q在△gca內 d．點q與點g重合
第ⅱ卷（非選擇題）
二、填空題：本大題共5小題，每小題4分（第15小題每空2分），共20分，把答案填在答題卡中對應題號後的橫線上.
11．一工廠生產了某種產品16800件，它們來自甲．乙．丙3條生產線，為檢查這批產品的質量，決定採用分層抽樣的方法進行抽樣，已知甲．乙．丙三條生產線抽取的個體數組成乙個等差數列，則乙生產線生產了件產品.
12．在的展開式中，x 2項的係數是 .（用數字作答）
13．已知直線ax＋by＋c＝0與圓o：x2＋y2＝1相交於a、b兩點，且|ab|＝，則 ＝ .
14．設函式f(x)的圖象關於點（1,2）對稱，且存在反函式,f (4)＝0，則＝ .
15．設函式f (x)的圖象與直線x =a，x =b及x軸所圍成圖形的面積稱為函式f(x)在[a，b]上的面積，已知函式y＝sinnx在[0，]上的面積為（n∈n*），（i）y＝sin3x在[0,]上的面積為 ；（ii）y＝sin（3x－π）＋1在[，]上的面積為 .
三、解答題：本大題共6小題，共80分. 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
16．（本小題滿分12分）
已知在△abc中，sina（sinb＋cosb）－sinc＝0，sinb＋cos2c＝0，求角a、b、c的大小.
17．（本題滿分12分）
如圖1，已知abcd是上．下底邊長分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對稱軸oo1折成直二面角，如圖2.
（ⅰ）證明：ac⊥bo1；
（ⅱ）求二面角o－ac－o1的大小.
18．（本小題滿分14分）
某城市有甲、乙、丙3個旅遊景點，一位客人遊覽這三個景點的概率分別是0.4，0.5，0.
6，且客人是否遊覽哪個景點互不影響，設ξ表示客人離開該城市時遊覽的景點數與沒有遊覽的景點數之差的絕對值.
（ⅰ）求ξ的分布及數學期望；
（ⅱ）記「函式f(x)＝x2－3ξx＋1在區間[2，＋∞上單調遞增」為事件a，求事件a的概率.
19．（本小題滿分14分）
已知橢圓c：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦點為f1、f2，離心率為e. 直線
l：y＝ex＋a與x軸．y軸分別交於點a、b，m是直線l與橢圓c的乙個公共點，p是點f1關於直線l的對稱點，設＝λ.
（ⅰ）證明：λ＝1－e2；
（ⅱ）確定λ的值，使得△pf1f2是等腰三角形.
20．（本小題滿分14分）
自然狀態下的魚類是一種可再生資源，為持續利用這一資源，需從巨集觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響. 用xn表示某魚群在第n年年初的總量，n∈n*，且x1＞0.不考慮其它因素，設在第n年內魚群的繁殖量及捕撈量都與xn成正比，死亡量與xn2成正比，這些比例係數依次為正常數a，b，c.
（ⅰ）求xn+1與xn的關係式；
（ⅱ）猜測：當且僅當x1，a，b，c滿足什麼條件時，每年年初魚群的總量保持不變？（不
要求證明）
（ⅱ）設a＝2，b＝1，為保證對任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈n*，則捕撈強度b的
最大允許值是多少？證明你的結論.
21．（本小題滿分14分）
已知函式f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋bx，a≠0
（ⅰ）若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在單調遞減區間，求a的取值範圍；
（ⅱ）設函式f(x)的圖象c1與函式g(x)圖象c2交於點p、q，過線段pq的中點作x軸的垂線分別交c1，c2於點m、n，證明c1在點m處的切線與c2在點n處的切線不平行
2023年普通高等學校招生全國統一考試（湖南卷）
數學（理工農醫類）
一、選擇題:本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1. 函式的定義域是
ab． cd．
2. 若數列滿足:, 且對任意正整數都有, 則
abcd．
3. 過平行六面體任意兩條稜的中點作直線, 其中與平面平行的直線共有
a．4條b．6條c．8條d．12條
4. 「」是「函式在區間上為增函式」的
a．充分不必要條件 b．必要不充分條件 c．充要條件 d．既不充分也不必要條件
5. 已知且關於的方程有實根, 則與的夾角的取值範圍是
ab． cd．
6. 某外商計畫在4個候選城市投資3個不同的專案, 且在同乙個城市投資的專案不超過2個, 則該外商不同的投資方案有
a． 16種b．36種c．42種d．60種
7. 過雙曲線的左頂點作斜率為1的直線, 若與雙曲線的兩條漸近線分別相交於點, 且, 則雙曲線的離心率是
abcd．
8. 設函式, 集合, 若,
則實數的取值範圍是
a． bcd．
9. 稜長為2的正四面體的四個頂點都在同乙個球面上, 若過該球球心的乙個截面如圖1,
則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是
abcd．
10. 若圓上至少有三個不同的點到直線的
距離為,則直線的傾斜角的取值範圍是
a． b． c． d．
注意事項：
請用0.5公釐黑色的簽字筆直接答在答題卡上。答在試題卷上無效。
二、填空題：本大題共5小題，每小題4分(第15小題每空2分)，共20分. 把答案填在答題卡中對應題號後的橫線上。
11. 若的展開式中的係數是, 則實數的值是
12. 已知則的最小值是
13. 曲線和在它們的交點處的兩條切線與軸所圍成的三角形的面積是
14. 若是偶函式, 則有序實數對可以
是注: 寫出你認為正確的一組數字即可)
15. 如圖2, , 點在由射線, 線段及的延長線圍成的區域內
(不含邊界)運動, 且,則的取值範圍是當時,的取值範圍是
三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16. （本小題滿分12分）
如圖3,是直角斜邊上一點,.
(ⅰ)證明:; (ⅱ)若,求的值.
17. （本小題滿分12分）
某安全生產監督部門對5家小型煤礦進行安全檢查(簡稱安檢), 若安檢不合格, 則必須整改. 若整改後經複查仍不合格, 則強制關閉. 設每家煤礦安檢是否合格是相互獨立的, 且每家煤礦整改前合格的概率是, 整改後安檢合格的概率是,
計算(結果精確到);
(ⅰ) 恰好有兩家煤礦必須整改的概率;
(ⅱ) 平均有多少家煤礦必須整改;
(ⅲ) 至少關閉一家煤礦的概率 .
18. （本小題滿分14分）
如圖4, 已知兩個正四稜錐的高分別為1和2,
(ⅰ) 證明求異面直線所成的角;
(ⅲ) 求點到平面的距離.
19．（本小題滿分14分）
已知函式, 數列滿足:,證明
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