數列求和的基本方法和技巧
一、總論：數列求和7種方法：
利用等差、等比數列求和公式
錯位相減法求和
反序相加法求和
分組相加法求和
裂項消去法求和
分段求和法（合併法求和）
利用數列通項法求和
二、等差數列求和的方法是逆序相加法，等比數列的求和方法是錯位相減法，
三、逆序相加法、錯位相減法是數列求和的二個基本方法。
數列是高中代數的重要內容，又是學習高等數學的基礎. 在高考和各種數學競賽中都占有重要的地位. 數列求和是數列的重要內容之一，除了等差數列和等比數列有求和公式外，大部分數列的求和都需要一定的技巧.
下面，就幾個歷屆高考數學和數學競賽試題來談談數列求和的基本方法和技巧.
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是數列求和的最基本最重要的方法.
1、 等差數列求和公式：
2、等比數列求和公式：
34、5、
[例1] 已知，求的前n項和.
解：由 由等比數列求和公式得利用常用公式）1－
[例2] 設sn＝1+2+3+…+n，n∈n*,求的最大值.
解：由等差數列求和公式得， （利用常用公式）
∴ 當，即n＝8時，
二、錯位相減法求和
這種方法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用於求數列的前n項和，其中、分別是等差數列和等比數列.
[例3] 求和
解：由題可知，{}的通項是等差數列的通項與等比數列{}的通項之積
設設制錯位）
①－②得 （錯位相減）
再利用等比數列的求和公式得：
[例4] 求數列前n項的和.
解：由題可知，{}的通項是等差數列的通項與等比數列{}的通項之積
設設制錯位）
①－②得錯位相減）
三、反序相加法求和
這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將乙個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個.
[例5] 求證：
證明： 設
把①式右邊倒轉過來得
反序） 又由可得
①+②得反序相加）
[例6] 求的值
解：設…………. ①
將①式右邊反序得
反序）又因為①+②得反序相加）
＝89∴ s＝44.5
題1 已知函式
（1）證明：；
（2）求的值.
解：（1）先利用指數的相關性質對函式化簡，後證明左邊=右邊
（2）利用第（1）小題已經證明的結論可知，
兩式相加得：
所以.練習、求值：
四、分組法求和
有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然後分別求和，再將其合併即可.
[例7] 求數列的前n項和：，…
解：設將其每一項拆開再重新組合得
分組）當a＝1時分組求和）
當時，＝
[例8] 求數列的前n項和.
解：設 ∴ ＝
將其每一項拆開再重新組合得
sn分組）
＝分組求和）
五、裂項法求和
這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用. 裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然後重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的. 通項分解（裂項）如：
（1） （2）
（3） （4）
（5）(6)
（7）（8）
[例9] 求數列的前n項和.
解：設裂項）
則裂項求和）
[例10] 在數列中，，又，求數列的前n項的和.
解： ∵
裂項）∴ 數列的前n項和
裂項求和）
[例11] 求證：
解：設裂項）
裂項求和）
＝∴ 原等式成立
答案：六、分段求和法（合併法求和）
針對一些特殊的數列，將某些項合併在一起就具有某種特殊的性質，因此，在求數列的和時，可將這些項放在一起先求和，然後再求sn.
[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
解：設sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°
找特殊性質項）
∴sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···
+（cos89°+ cos91°）+ cos90合併求和）
0[例13] 數列：，求s2002.
解：設s2002＝
由可得……
找特殊性質項）
∴ s2002合併求和）
＝＝＝＝5[例14] 在各項均為正數的等比數列中，若的值.
解：設由等比數列的性質找特殊性質項）
和對數的運算性質得
（合併求和）
＝＝＝10七、利用數列的通項求和
先根據數列的結構及特徵進行分析，找出數列的通項及其特徵，然後再利用數列的通項揭示的規律來求數列的前n項和，是乙個重要的方法.
[例15] 求之和.
解：由於找通項及特徵）
∴ 分組求和）＝＝
＝[例16] 已知數列：的值.
解找通項及特徵）
設制分組）
裂項）∴ （分組、裂項求和）
提高練習：
1．已知數列中，是其前項和，並且，
⑴設數列，求證：數列是等比數列；
⑵設數列，求證：數列是等差數列；
2．設二次方程x-+1x+1=0(n∈n)有兩根α和β，且滿足6α-2αβ+6β=3．
(1)試用表示a；
3．數列中，且滿足
⑴求數列的通項公式；
⑵設，求；
數列求和7種方法 方法全,例子多
數列求和的基本方法和技巧 配以相應的練習 一 總論 數列求和7種方法 利用等差 等比數列求和公式 錯位相減法求和 反序相加法求和 分組相加法求和 裂項消去法求和 分段求和法 合併法求和 利用數列通項法求和 二 等差數列求和的方法是逆序相加法，等比數列的求和方法是錯位相減法，三 逆序相加法 錯位相減法...
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