2 8數列求和的常用方法

【知識要點】

求數列的和是數列運算的重要內容之一，數列求和可分為特殊數列求和與一般數列求和，特殊數列求和就是指等差或等比數列，非等差或非等比數列稱為一般數列。對於特殊數列的求和，要恰當地選擇，準確的應用求和公式，採用公式法直接求和；對於一般的數列求和，可採用分組轉化求和法、倒序相加法、錯位相消法、裂項相消法、。

1. 公式法：如果乙個數列的每一項是由幾個獨立的項組合而成，並且各獨立項也可以組成等差或等比數列，則該數列的前n項和可考慮拆項後利用公式求解。

2. 倒序相加法：如果乙個數列中，與首末兩項等距離的兩項之和等於首末兩項之和，那麼把正著寫的兩個和式相加，就得到乙個常數列的和，這一求和方法稱為倒序相加法。

3. 錯位相減法：若數列為等差數列，數列為等比數列，由這兩個數列的對應項乘積組成的新數列為，當求該數列的前n項和時，常常採用將的各項乘以公比q，並項後錯位一項與的同次項對應相減，即可轉化為特殊數列的求和問題。

4 .裂項相消法：將數列的每一項拆成兩項或多項，使數列中的項出現有規律的抵消項。

【知識應用】

1. 利用公式法的關鍵是觀察數列各項特徵，從中找出特殊數列，再用公式法求和

【j】例1 求值：

【l】例2 已知等差數列中，

（1）求（2）當n取偶數時，求

【c】例3 已知等差數列的前n項和為，

（1）求2）設，求的前n項和

2. 倒序相加法就是將數列倒過來排列，然後與原數列相加，就可以得到n個

【j】例1 利用倒序相加法證明等差數列的求和公式

【l】例2 設，求和：

【c】例3 求的值

3. 在利用錯位相減法時，關鍵是要觀察所給的數列是不是由等差和等比數列的乘積，如果是，才能用錯位相減法。

【j】例1 數列的前n項和為

（1）求2）求數列的前n項和

【l】例2 設正項等比數列的首項，前n項和為，且

（1）求（2）求的前n項和

【c】例3 設數列滿足

（1）求（2）令，求數列的前n項和

4. 常用的裂項技巧：a.

b. 若為等差數列，公差為d，則

c.【j】例1 求數列的前n項和

【l】例2 求數列

【c】例3 求

練習題：

1. 設數列的前n項和為，已知

（1）求證：為等差數列，並寫出關於n的表示式

（2）若數列的前n項和為，問滿足的最小正整數n是多少？

2. 在數列中，

（1）求數列的通項公式

（2）求數列的前n項和

（3）證明存在，使得對任意成立