一．圓的定義及相關概念
【考點速覽】
考點1：
圓的對稱性：圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形。經過圓心的每一條直線都是它的對稱軸。圓心是它的對稱中心。
考點2：
確定圓的條件；圓心和半徑
①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小；
②不在同一條直線上的三點確定乙個圓；
考點3：
弦：鏈結圓上任意兩點的線段叫做弦。經過圓心的弦叫做直徑。直徑是圓中最大的弦。
弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距。
弧：圓上任意兩點間的部分叫做弧。弧分為半圓，優弧、劣弧三種。
（請務必注意區分等弧，等弦，等圓的概念）
弓形：弦與它所對應的弧所構成的封閉圖形。
弓高：弓形中弦的中點與弧的中點的連線段。
（請務必注意在圓中一條弦將圓分割為兩個弓形，對應兩個弓高）
固定的已經不能再固定的方法：
求弦心距，弦長，弓高，半徑時通常要做弦心距，並連線圓心和弦的乙個端點，得到直角三角形。如下圖：
考點4：
三角形的外接圓：
銳角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,鈍角三角形的外心在 。
考點5點和圓的位置關係設圓的半徑為r，點到圓心的距離為d，
則點與圓的位置關係有三種。
①點在圓外d＞r；②點在圓上d=r；③點在圓內d＜r；
【典型例題】
例1 在⊿abc 中，∠acb=90°,ac=2,bc=4，cm是ab邊上的中線，以點c為圓心，以為半徑作圓，試確定a,b,m三點分別與⊙c有怎樣的位置關係，並說明你的理由。
例2．已知，如圖，cd是直徑，，ae交⊙o於b，且ab=oc，求∠a的度數。
例3 ⊙o平面內一點p和⊙o上一點的距離最小為3cm，最大為8cm，則這圓的半徑是_________cm。
例4 在半徑為5cm的圓中，弦ab∥cd，ab=6cm，cd=8cm，則ab和cd的距離是多少？
例5 如圖,⊙o的直徑ab和弦cd相交於點e，已知ae=6cm，eb=2cm,，
求cd的長．
例6.已知：⊙o的半徑0a=1，弦ab、ac的長分別為，求的度數．
例7.如圖，已知在中，，ab=3cm，ac=4cm，以點a為圓心，ac長為半徑畫弧交cb的延長線於點d，求cd的長．
例8、如圖，有一圓弧開橋拱，拱的跨度ab＝16cm，拱高cd＝4cm，那麼拱形的半徑是＿＿m。
.思考題
如圖所示,已知⊙o的半徑為10cm，p是直徑ab上一點,弦cd過點p,cd=16cm,過點a和b分別向cd引垂線ae和bf,求ae-bf的值.
二．垂徑定理及其推論
【考點速覽】
考點1垂徑定理：垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的兩條孤．
推論1：
①平分弦（不是直徑）的直徑重直於弦，並且平分弦所對的兩條孤．
②弦的垂直平分線經過圓心，並且平分弦所對的兩條孤．
③平分弦所對的一條孤的直徑,垂直平分弦，並且平分弦所對的另一條孤．
推論2．圓的兩條平行弦所夾的孤相等．
垂徑定理及推論1中的三條可概括為：
1 經過圓心；②垂直於弦；③平分弦(不是直徑)；④平分弦所對的優弧；⑤平分弦所對的劣弧．以上五點已知其中的任意兩點，都可以推得其它兩點
【典型例題】
例1 如圖ab、cd是⊙o的弦，m、n分別是ab、cd的中點，且．
求證：ab=cd．
例2已知，不過圓心的直線交⊙o於c、d兩點，ab是⊙o的直徑，ae⊥於e，bf⊥於f。求證：ce=df．
例3 如圖所示，⊙o的直徑ab＝15cm，有一條定長為9cm的動弦cd在弧amb上滑動（點c與點a，點d與b不重合），且ce⊥cd交ab於e，df⊥cd交ab於f。
（1）求證：ae＝bf
（2）在動弦cd滑動的過程中，四邊形cdef的面積是否為定值？若是定值，請給出證明，並求出這個定值，若不是，請說明理由。
例4 如圖，在⊙o內，弦cd與直徑ab交成角，若弦cd交直徑ab於點p，且⊙o半徑為1，試問： 是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由.
例5.如圖所示，在⊙o中，弦ab⊥ac，弦bd⊥ba，ac、bd交直徑mn於e、f.求證：me=nf.
例6.（思考題）如圖，與交於點a，b，過a的直線分別交，於m,n，c為mn的中點，p為的中點，求證：pa=pc.
三．圓周角與圓心角
【考點速覽】
考點1圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角，圓心角的度數等於它所對的弧的度數。
eg: 判別下列各圖中的角是不是圓心角，並說明理由。
圓周角：頂點在圓周上，角兩邊和圓相交的角叫圓周角。兩個條件缺一不可．
eg: 判斷下列圖示中，各圖形中的角是不是圓周角，並說明理由
考點2定理：一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半．
eg: 如下三圖，請證明。
13.如圖，已知a、b、c、d是⊙o上的四個點，ab＝bc，bd交ac於點e，連線cd、ad．
（1）求證：db平分∠adc；
（2）若be＝3，ed＝6，求ab的長．
14.如圖所示，已知ab為⊙o的直徑，cd是弦，且abcd於點e．連線ac、oc、bc．
（1）求證：aco=bcd．
（2）若eb=，cd=，求⊙o的直徑．
15.如圖，在rt△abc中，∠acb＝90°，ac＝5，cb＝12，ad是△abc的角平分線，過a、c、d三點的圓與斜邊ab交於點e，連線de。
（1）求證：ac＝ae；
（2）求△acd外接圓的半徑。
16.已知：如圖等邊內接於⊙o，點是劣弧上的一點（端點除外），延長至，使，鏈結．
（1）若過圓心，如圖①，請你判斷是什麼三角形？並說明理由．
（2）若不過圓心，如圖②，又是什麼三角形？為什麼？
四．圓心角、弧、弦、弦心距關係定理
【考點速覽】
圓心角, 弧,弦,弦心距之間的關係定理:
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的孤相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等
推論：在同圓或等圓中,如果①兩個圓心角,②兩條弧,③兩條弦,④兩條弦心距中,有一組量相等,那麼它們所對應的其餘各組量都分別相等.
（務必注意前提為：在同圓或等圓中）
例1．如圖所示，點o是∠epf的平分線上一點，以o為圓心的圓和角的兩邊分別交於a、b和c、d，求證：ab=cd．
例2、已知：如圖，ef為⊙o的直徑，過ef上一點p作弦ab、cd，且∠apf=∠cpf。
求證：pa=pc。
例3．如圖所示，在中，∠a=，⊙o截的三條邊長所得的三條弦等長，求∠boc.
例4．如圖，⊙o的弦cb、ed的延長線交於點a，且bc=de．求證：ac=ae．
例5．如圖所示，已知在⊙o中，弦ab=cb，∠abc=，od⊥ab於d，oe⊥bc於e．
求證：是等邊三角形．
例6.如圖所示，已知△abc是等邊三角形，以bc為直徑的⊙o分別交ab、ac於點d、e。
（1）試說明△ode的形狀；
（2）如圖2，若∠a=60，ab≠ac，則①的結論是否仍然成立，說明你的理由。
例7弦df∥ac，ef的延長線交bc的延長線於點g.
（1）求證：△bef是等邊三角形；
（2）ba=4，cg=2，求bf的長.
例8已知：如圖，∠aob=90°，c、d是弧ab的三等分點，ab分別交oc、od於點e、f。求證：ae=bf=cd。
六．會用切線，能證切線
考點速覽：
考點1直線與圓的位置關係
考點2切線：經過半徑外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線。
符號語言
∵ oa⊥ l 於a， oa為半徑
∴ l 為⊙o的切線
考點3判斷直線是圓的切線的方法：
①與圓只有乙個交點的直線是圓的切線。
②圓心到直線距離等於圓的半徑的直線是圓的切線。
③經過半徑外端，垂直於這條半徑的直線是圓的切線。
（請務必記住證明切線方法：有交點就連半徑證垂直；無交點就做垂直證半徑）
考點4切線的性質定理：
圓的切線垂直於經過切點的半徑。
推論1：經過圓心且垂直於切線的直線必經過切點。
推論2：經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心。
（請務必記住切線重要用法： 見切線就要連圓心和切點得到垂直）
1、如圖，在矩形abcd中，點o在對角線ac上，以oa的長為半徑的圓o與ad、ac分別交於點e、f，且∠acb=∠dce．
(1)判斷直線ce與⊙o的位置關係，並證明你的結論；
(2)若ab=3,bc=4,de=dc，求⊙o的半徑．
2.如圖，是半圓的直徑，過點作弦的垂線交半圓於點，交於點使．
（1）判斷直線與圓的位置關係，並證明你的結論；
3.如圖，已知r t△abc，∠abc＝90°，以直角邊ab為直徑作o，交斜邊ac於點d，鏈結bd．
（1）取bc的中點e，鏈結ed，試證明ed與⊙o相切．
（2）在（1）的條件下，若ab＝3，ac＝5，求de的長；
4.如圖，已知ab是⊙o的直徑，點c在⊙o上，過點c的直線與ab的延長線交於點p，ac=pc，∠cob=2∠pcb.
（1）求證：pc是⊙o的切線；
（2）求證：bc=ab；
5.如圖，在△abc中，ab=ac，d是bc中點，ae平分∠bad交bc於點e，點o是ab上一點，⊙o過a、e兩點, 交ad於點g，交ab於點f．
（1）求證：bc與⊙o相切；
（2）當∠bac=120°時，求∠efg的度數
6.如圖，四邊形abcd是平行四邊形，以ab為直徑的⊙o經過點d，e是⊙o上一點，
（1）若∠aed＝45．試判斷cd與⊙o的關係，並說明理由．
（2）若∠aed=60,ad=4，求⊙o半徑。
7.在rt△acb中，∠c=90°，ac=3cm，bc=4cm，以bc為直徑作⊙o交ab於點d.
（1）求線段ad的長度；
（2）點e是線段ac上的一點，試問當點e在什麼位置時，直線ed與⊙o相切？請說明理由.
8.如圖，已知△abc內接於⊙o，ac是⊙o的直徑，d是的中點，過點d作直線bc的垂線，分別交cb、ca的延長線e、f
（1）求證：ef⊙是o的切線；
（2）若ab＝8，eb＝2，求⊙o的半徑．
如圖，已知⊙o是△abc的外接圓，ab為直徑，若pa⊥ab，po過ac的中點m，求證：pc是⊙o的切線。
20. 已知：ab是⊙o的弦，od⊥ab於m交⊙o於點d，cb⊥ab交ad的延長線於c．
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