關於三角函式兩角和正余弦公式的推導
課本中的推導方法如右圖所示，其中有旋轉的思想在內，且使用了兩點間距離公式（為使用此公式，課本在此節還特地介紹了本屬於解析幾何內容的兩點間距離公式），為了由c（+β）公式得到其它公式，還推導並使用了cos（π/2－）＝sin公式。上網檢視兩角和與差三角函式公式的不同證明方法，有向量法、面積法、弦長公式法等，其方法雖簡單且精巧，但不是一般人尤其學生所能想到的，因而也不利於進行**式的教學。
下面依三角函式的特徵，給出乙個新的證明：
如圖，在單位圓中，設α，β都是銳角：
根據則 a（1，0）；b（cos，sin）；
c(cos（+β），sin（+β）)。
做cd⊥oa於d，cf⊥ob於f，
做fe⊥oa於e，fg⊥cd於g，
∵ oa⊥cd，ob⊥cf，
∴ ∠fcd=。
∴of＝cosβ，cf＝sinβ
∴oe＝of·cos＝cosβ·cos＝coscosβ，
∴fe＝of·sin＝cosβ·sin ＝sincosβ，
de＝gf＝cf·sin＝sinβ·sin＝sinsinβ，
cg＝cf·cos = sinβ·cos＝cossinβ，
∴od= cos（+β） = oe - de = coscosβ- sinsinβ；
∴cd= sin（+β） = cg + gd = cg + fe = cossinβ+ sincosβ；
即 cos（+β） = coscosβ- sinsinβ；
sin（+β） = sincosβ+ cossinβ；
當、β不是銳角時，根據誘導公式，可化cos（+β）、sin（+β）為cos（』+β』）、sin（』+β』）,其中』、β』皆為銳角，公式依然成立。
（2）正弦定理的證明
例4、向量方法證明三角形中的射影定理
在△abc中，設三內角a、b、c的對邊分別是a、b、c.
∵＋＝， ∴∴∴
∴∴b－acosc＝ccosa 即b＝ccosa＋acosc
類似地有c＝acosb＋bcosa
a＝bcosc＋ccosb
上述三式稱為三角形中的射影定理.
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4s 4 1 2 3 n n3 由 2 3 得 s1 8s 4 1 2 3 n n4 由 1 與 4 得 2s n3 2n 1 2 3 n 8s 4 1 2 3 n n 即 6s n3 2n 1 2 3 n 4 1 2 3 n n n n2 n 1 n 2 1 n 1 n 2n2 3n 1 n n ...