=4s-4(1+2+3+…+n)+n3)
由(2)+ (3)得：s1=8s-4(1+2+3+…+n)+n4)
由(1)與(4)得：2s+ n3+2n(1+2+3+…+n) =8s-4(1+2+3+…+n)+n
即：6s= n3+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n
= n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1]
= n(2n2+3n+1)
= n(n+1)(2n+1)
s= n(n+1)(2n+1)/ 6
亦即：s=12+22+32+…+n2= n(n+1)(2n+1)/65)
以上可得各自然數平方和公式為n(n+1)(2n+1)/6，其中n為最後一位自然數。
由(5)代入(2)得自然數偶數平方和公式為2n(n+1)(2n+1)/3，其中2n為最後一位自然數。
由(5)代入(3)得自然數奇數平方和公式為n(2n-1)(2n+1)/3，其中2n-1為最後一位自然數。
由自然數平方和公式推導自然數立方和公式
設s=13+23+33+…+n31)
有s=n3+(n-1)3+(n-2)3+…+132)
由(1)+ (2)得：2s=n3+13+(n-1)3+23+(n-2)3+33+…+n3+13
=(n+1)(n2-n+1)
+ (n+1)[(n-1)2-2(n-1)+22)
+ (n+1)[(n-2)2-3(n-2)+32)
+ .. .
+ (n+1)(12-n(n-n+1)(n-n+1+ n2)
即2s=( n+1)[2(12+22+32+…+n2)-n-2(n-1) -3(n-2)-…-n (n-n+13)
由12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/ 6代入(2)得：
2s=(n+1)[2n(n+ 1)(2n+1)/6-n-2n-3n-…nn+2×1+3×2+…+n(n-1)]
=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n(1+2+3+…n)+(1+1)×1+(2+1)×2+…+(n-1+1)(n-1)]
=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n2 (1+n)/2+12+1+22+2+…+(n-1)2+ (n-1)]
=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n2(1+n)/2+12+22+…+(n-1)2+1 +2+…+ (n-1)] ……...(4)
由12+22+…+(n-1)2= n(n+1)(2n+1)/6-n 2，1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2代入(4)得：
2s=(n+1)[3n(n+1)(2n+1)/6-n2+n(n-1)/2
=n2(n+1)2/2
即s=13+23+33+…+n3= n2(n+1)2/4
結論：自然數的立方和公式為n2(n+1)2/4，其中n為自然數。
自然數偶數立方和公式推導
設s=23+43+63+…+(2n)3
有s=23(13+23+33+…+n3)=8n2(n+1)2/4=2n2(n+1) 2
結論：自然數偶數的立方和公式為2n2(n+1)2，其中2n為最後一位自然偶數。
自然數奇數立方和公式推導
設s=13+23+33+…+(2n) 3
由自然數的立方和公式為n2(n+1)2/4，其中n為自然數代入左邊
有n2(2n+1)2=23+43+63+…+(2n) 3+13+33+53…+(2n-1)3
=2n2(n+1)2+13+33+53…+(2n-1)3
移項得：13+33+53…+(2n-1)3 =n2(2n+1)2-2n2(n+1)2
=n2(2n2-1)
結論：自然數奇數的立方和公式為n2(2n2-1)，其中2n-1為最後一位自然奇數，即n的取值。
關於正整數平方和公式的證明
廈門市前埔廈門特殊教育學校吳光安 在高中階段，有乙個公式一直讓我產生興趣，就是，這個公式是學習數學歸納法的時候，課後的乙個習題結論，而且也是老教材的封面的內容，可見該公式是多麼的重要，不然怎麼會上了封面呢。的確在實際的解題中，該公式是很有用的 直接用這個公式，可以使一些過程變得很簡單。但老師講到這的...
有趣的平方和等式
下面是一些關於平方和的等式 12 42 62 72 22 32 52 82 都等於102 22 52 72 82 32 42 62 92 都等於142 32 62 82 92 42 52 72 102 都等於190 觀察發現 這3個等式中的8個平方數的底數都是連續自然數。第乙個等式是1 8，第二個等...
自然數「1」在教學中的作用
自然數1是人類最早用作計數的單位，數的發展就是從1開始的。隨著時間的推移，1的作用也逐漸被人們所認識，在中學數學學習過程中，我們常常把1轉化為其它數學表示式，從而使問題獲解或把問題化難為易。本文僅就1在中學數學中的作用，做一些說明。1的變形大致歸納如下 1 sina csca 1 cosa sina...