如何找到四個正整數，使得其中任意兩數的和都是平方數？我們已經知道三個正整數中任意兩數和都是平方數的解是：
x=(p-q+r)÷2
y=(p+q-r)÷2
z=(q+r-p)÷2
只需再找到乙個正整數t, t是可以用三種不同方式表示成兩個平方數和的正整數，即t=u+p=v+q=w+r其中p,q,r,u,v,w都是正整數。那麼，t-(p+q+r)÷2和x,y,z就滿足四個正整數中任意兩數和都是平方數的要求。
怎樣找到正整數t？我們聯想到十七世紀法國數學家費瑪發現4k+1型的質數都能寫成兩個平方數的和。還有恒等式：
1、（a+b）(x+y）=(ax+by) +(ay-bx)
2、（a+b）(x+y）=(ax-by) +(ay+bx)
所以有兩個4k+1型的質數之積都能用兩種不同方式表示成兩個平方數的和，繼而三個4k+1型的質數之積都能用四種不同方式表示成兩個平方數的和。這樣符合條件的正整數t就是三個4k+1型的質數之積。
只要認真進行計算和試驗，我們可以找到一系列符合條件的正整數，使得四個正整數中任意兩數和都是平方數。不過，要找到也很不容易，需要很大的耐心，因為雖然有很多正整數可以用四種不同方式表示成兩個平方數的和，但是受t-(p+q+r)÷2和x,y,z都是正整數的限制，許多可以用四種不同方式表示成兩個平方數的和的正整數卻找不出符合條件的四個正整數。
下面列表舉出四組符合條件的四個正整數。
注：t=1246277=29×41×53
= 719+854=516961+729316
= 914+641=835396+410881
= 826+751=682276+564001
= 991+514=982081+264196
根據注的內容可以找出15組符合條件的p，q，r，進而計算出相應的t-(p+q+r)÷2和x,y,z，當然t=1246277不變。有興趣的讀者可以耐心計算出其餘的11組t-(p+q+r)÷2和x,y,z，並驗證每組中的四個正整數中任意兩數和都是平方數。
二〇一二年八月十二日
關於正整數平方和公式的證明
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