下面是一些關於平方和的等式：
12＋42＋62＋72＝22＋32＋52＋82 (都等於102)
22＋52＋72＋82＝32＋42＋62＋92 (都等於142)
32＋62＋82＋92＝42＋52＋72＋102 (都等於190)
觀察發現：這3個等式中的8個平方數的底數都是連續自然數。（第乙個等式是1～8，第二個等式是2～9，第三個等式是3～10）。
進一步觀察又發現：如果用①～⑧表示3個等式中，從小到大第乙個自然數的平方到第八個自然數的平方，那麼，這3個等式都可以歸結為：
難道這就是組成這類等式的規律嗎？讓我們換8個數，比如4～11試試看：
①＝42＝16，②＝52＝25，③＝62＝36，④＝72＝49，⑤＝82＝64，⑥＝92＝81，⑦＝102＝100，⑧＝112＝121。
①＋④＋⑥＋⑦＝16＋49＋81＋100＝246，②＋③＋⑤＋⑧＝25＋36＋64＋121＝246。果然
再換大一點的數，比如57～64試試看：
①＝572＝3249，②＝582＝3364，③＝592＝3481，④＝602＝3600，⑤＝612＝3721，⑥＝622＝3844，⑦＝632＝3969，⑧＝642＝4096。
①＋④＋⑥＋⑦＝3249＋3600＋3844＋3969＝14662，②＋③＋⑤＋⑧＝3364＋3481＋3721＋4096＝14662。果然
當然，驗證不能代替證明。為了檢驗上面發現的規律有沒有普遍性，設8個連續自然數是n、n＋1、n＋2、n＋3、n＋4、n＋5、n＋6、n＋7。
①＋④＋⑥＋⑦＝n2＋(n＋3)2＋(n＋5)2＋(n＋6)2＝n2＋(n2＋6n＋9)＋(n2＋10n＋25)＋(n2＋12n＋36)＝4n2＋28n＋70。
②＋③＋⑤＋⑧＝(n＋1)2＋(n＋2)2＋(n＋4)2＋(n＋7)2＝(n2＋2n＋1)＋(n2＋4n＋4)＋(n2＋8n＋16)＋(n2＋14n＋49)＝4n2＋28n＋70。
於是即n2＋(n＋3)2＋(n＋5)2＋(n＋6)2＝(n＋1)2＋(n＋2)2＋(n＋4)2＋(n＋7)2
看來，我們的確發現了乙個有普遍性的規律。於是，想寫出多少個這樣的等式就能寫出多少個這樣的等式。比如，
用123～130就能寫出：
1232＋1262＋1282＋1292＝1242＋1252＋1272＋1302
用987654321～987654328就能寫出：
由此我們得到乙個可貴的經驗：觀察—探索—發現—驗證—證明，看來是學習數學的乙個有效方法，值得記取。
關於正整數平方和公式的證明
廈門市前埔廈門特殊教育學校吳光安 在高中階段，有乙個公式一直讓我產生興趣，就是，這個公式是學習數學歸納法的時候，課後的乙個習題結論，而且也是老教材的封面的內容，可見該公式是多麼的重要，不然怎麼會上了封面呢。的確在實際的解題中，該公式是很有用的 直接用這個公式，可以使一些過程變得很簡單。但老師講到這的...
自然數平方和公式的推導與證明新課標
4s 4 1 2 3 n n3 由 2 3 得 s1 8s 4 1 2 3 n n4 由 1 與 4 得 2s n3 2n 1 2 3 n 8s 4 1 2 3 n n 即 6s n3 2n 1 2 3 n 4 1 2 3 n n n n2 n 1 n 2 1 n 1 n 2n2 3n 1 n n ...
有趣的概率和「智豬博弈」現象
作者 尹耀辰 發明與創新 中學生 2015年第12期 日常生活或遊戲中，人們有時會選擇拋硬幣或 石頭剪刀布 的方式來做出決定。這種方式究竟有沒有科學道理？通過概率試驗和研究 智豬博弈 模型，筆者 了生活中的博弈現象。一 概率和拋硬幣試驗 生活中經常遇到一些無法 結果的事，它們被稱為隨機事件。概率是描...