一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）
1．不等式的解集是（ ）
ab． c． d．
2．「a＞0，b＞0」是「ab>0」的
a.充分而不必要條件b.必要而不充分條件
c.充分必要條件d.既不允分也不必要條件
3．（06江西）若a0，b0，則不等式－ba等價於（ ）
a． x0或0x b.－x 或x 或x
4．（06山東）設f(x)= 則不等式f(x)>2的解集為
a.（1，2）（3b.（，+∞）
c.（1，2d.（1，2）
5．若，則下列不等式成立的是
a.. b.. c.. d..
6．(06陝西)已知不等式(x+y)( +)≥9對任意正實數x,y恆成立,則正實數a的最小值為( )
a.2b.4c.6d.8
7．已知函式f(x)=ax2+2ax+4(a>0),若x1f(x2) 與f(x2)的大小不能確定
8設實數，滿足，當≥0時，的取值範圍是（ ）．
a．， b．， c．， d．，
9．(06上海)若關於的不等式≤＋4的解集是m，則對任意實常數，總有（ ）
a.2∈m，0∈m； b.2m，0m； c.2∈m，0m； d.2m，0∈m．
10．(06重慶)若且，則的最小值是
a. b.3 c.2 d.
二、填空題（共6題）
11．不等式的解集是
12．（06江蘇）不等式的解集為
13．(06上海)三個同學對問題「關於的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恆成立，求實數的取值範圍」提出各自的解題思路．
甲說：「只須不等式左邊的最小值不小於右邊的最大值」．
乙說：「把不等式變形為左邊含變數的函式，右邊僅含常數，求函式的最值」．
丙說：「把不等式兩邊看成關於的函式，作出函式影象」．
參考上述解題思路，你認為他們所討論的問題的正確結論，即的取值範圍是
14．某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買噸，運費為4萬元/次，一年的總儲存費用為萬元，要使一年的總運費與總儲存費用之和最小，則噸．
15. 已知，， r）給出下列不等式：
其中一定成立的不等式是注：把成立的不等式的序號都填上）．
16.已知直線過點，且與軸、軸的正半軸分別交於兩點，為座標原點，則三角形面積的最小值為 .
三、解答題（共4小題，10+12+12+12=46，共46分）
17．若a＞0，b＞0，a3+b3=2．求證≤2，≤1．
18． 對於在區間，上有意義的兩個函式與，如果對任意的，，均有≤1，則稱與在區間，上是接近的，否則是非接近的．設與，是區間，上的兩個函式．
（1）求的取值範圍；
（2）討論與在區間，上是否是接近的．
19． (02 江蘇)己知，函式．
（1）當時，若對任意r都有≤1，證明：≤；
（2）當時，證明：對任意，≤1的充要條件是≤≤；
20.（06湖南）對1個單位質量的含汙物體進行清洗,清洗前其清潔度(含汙物體的清潔度定義為:)為0.
8,要求洗完後的清潔度是0.99.有兩種方案可供選擇,方案甲:
一次清洗;方案乙:兩次清洗.該物體初次清洗後受殘留水等因素影響,其質量變為(1≤a≤3).
設用單位質量的水初次清洗後的清潔度是(),用質量的水第二次清洗後的清潔度是,其中是該物體初次清洗後的清潔度.
(ⅰ)分別求出方案甲以及時方案乙的用水量,並比較哪一種方案用水量較少;
(ⅱ)若採用方案乙,當為某定值時,如何安排初次與第二次清洗的用水量,使總用水量最少?
並討論取不同數值時對最少總用水量多少的影響.
答案與點撥：
1 d 解：由得：，即，故選d。
2 a 解：由「a＞0，b＞0」可推出「ab>0」，反之不一定成立，選a
3 d 解：
故選d4 c 解：令2（x2），解得1x2。令2（x2）解得x（，+∞）選c
5 c解：應用間接排除法．取a=1,b=0，排除a. 取a=0,b=-1，排除b; 取c=0，排除d．故應該選c．顯然 ，對不等式a>b的兩邊同時乘以 ，立得成立．
6 b 解：不等式(x+y)()≥9對任意正實數x，y恆成立，則≥≥9，∴≥2或≤－4(捨去)，所以正實數a的最小值為4，選b．
7 a 解：函式f(x)=ax2+2ax+4(a>0)，二次函式的圖象開口向上，對稱軸為，a>0，∴ x1+x2=0，x1與x2的中點為0，x18 c 解：（三角換元）
設，，≥，
∴≥，故選c．
9 a 解：選（a）
方法1：代入判斷法，將分別代入不等式中，判斷關於的不等式解集是否為；
方法2：求出不等式的解集：≤＋4
10 a 解：（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝12＋（b－c）212，當且僅當b＝c時取等號，故選a
11 ｛x|x－1或x2.｝解： （x＋1）（x－2）0x－1或x2.
12 點撥：本題考查對數函式單調性和不等式的解法
解 ：，0〈， .
解得反思：在數的比較大小過程中,要遵循這樣的規律,異中求同即先將這些數的部分因式化成相同的部分,再去比較它們剩餘部分,就會很輕易啦.一般在數的比較大小中有如下幾種方法：
(1)作差比較法和作商比較法,前者和零比較,後者和1比較大小；(2)找中間量,往往是1,在這些數中,有的比1大,有的比1小；,(3)計算所有數的值；(4)選用數形結合的方法,畫出相應的圖形；(5)利用函式的單調性等等.
13 解：由＋25＋|－5|≥，而，等號當且僅當時成立；且，等號當且僅當時成立；所以，，等號當且僅當時成立；故；
14 20 解：某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買噸，則需要購買次，運費為4萬元/次，一年的總儲存費用為萬元，一年的總運費與總儲存費用之和為萬元，≥160，當即20噸時，一年的總運費與總儲存費用之和最小。
15 ①②④ 解：（≤≤，（≤≤這是絕對值不等式的重要性質，必須熟練地掌握）
∵，∴①②是正確的．
∵≤，∴≤，∴④正確．
令，，，滿足條件，
但，不能成立，
∴③，⑤是錯誤的．
16 4解：設直線 l 為 ，則有關係 ． 對應用２元均值不等式，得 ，即ab≥8 ．於是，△oab 面積為 ．從而應填4．
17 分析：由條件a3+b3=2及特徵的結論≤2的結構入手，聯想它們之間的內在聯絡，不妨用作差比較法或均值不等式或構造方程等等方法，架起溝通二者的「橋梁」．本題證法較多
證法1 (作差比較法)
∵a＞0，b＞0，a3+b3=2，
∴=a3+b3++3ab2-8==3[
==≤0，
即≤23．
又∵，∴≤2．∵≤≤2，∴≤1．
證法2 (適當配湊，綜合法)
∵a＞0，b＞0，a3+b3=2，∴2=a3+b3=≥=，
∴6≥，∴8≥=3a2b+3ab2+a3+b3=，≤2．(以下略)
證法3 (構造方程)
設a，b為方程x2-mx+n=0的兩根．則
∵a＞0，b＞0，∴m＞0，n＞0且δ=m2-4n≥0
∴2=a3+b3==m[m2-3n]，
將②代入①得 ≥，即≥0，∴≥0，即≤2，
∴≤2．
∵2≥m，∴4≥m2，又∵m2≥4n，∴4≥4n，即n≤1．∴≤1．
說明：認真觀察不等式的結構，從中發現與已學知識的內在聯絡，就能較順利地找到解決問題的切入點．
證法4 (反證法)
假設＞2，則a3+b3=＞2(22-3ab)．
∵因為a3+b3=2，∴2＞2(4-3ab)，∴因此＞1
另一方面，2=a3+b3=≥=＞2ab，
∴＜1於是①與②矛盾，故≤2．(以下略)
證法5 (平均值不等式—綜合法)
∵a＞0，b＞0，a3+b3=2，∴≥，∴≤1．
又∵≤，
∴≤2，≤1．
說明：充分發揮「1」的作用，使其證明路徑顯得格外簡捷、漂亮．
證法6 （利用≥進行證明）
∵≥0，
∴對任意的非負實數，有≥．
1，即≤2．（以下略）
說明：此題用了六種不同的方法證明，這幾種證明方法都是證明不等式的常用方法．
18 點撥：高考題中常常出現和高中知識有關的新的定義，本題中定義了兩個函式在區間上接近的定義，解題時必須先搞懂兩個函式在區間上接近的定義．對數的運算是學生的乙個薄弱環節，本題涉及到對數的運算．二次函式的最值問題也是重點內容之一．
解：（1）∵且，當，時，
要使函式有意義，∴，即． ①
要使函式有意義，∴，即r． ②
由①和②得，即為的取值範圍．
（2）要判斷與在區間，上是否是接近的，只須檢驗≤在區間，上是否恆成立．
∵，設≤1，則≤≤1，
即≤≤1
設，拋物線開口向上，且對稱軸為．
∵，∴，
∴函式在區間，上是增函式．
設≤≤，則，
∵，∴．
設，則在區間，上是減函式，
∴，，∴③式成立的充要條件是：
，，∴當，時，與在區間，上是接近的；
當，時，與在區間，上是非接近的．
19 證明：（1）依題意，對任意，都有．∵，∴≤1．
∵，∴≤．
（2）充分性：
∵，≥，對任意，，
∴≥≥≥，即≥．
又∵，a≤，對任意，，
∴≤≤，即≤1，
∴≤≤1．
必要性：
∵對任意，，≤1，∴≥，∴≥，
即≥，∴≥.
又∵，∴，∵≤1，∴≤1，即≤1，
∴≤，∴≤≤．
綜上，對任意的，，≤1的充要條件是≤≤．
不等式的性質與證明
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