不等式的證明規律及重要公式總結
證明方法
高考數學百大經典例題——不等式性質
概念、方法、題型、易誤點及應試技巧總結
不等式一．不等式的性質：
1．同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：若，則（若，則），但異向不等式不可以相加；同向不等式不可以相減；
2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可以相除，但不能相乘：若，則（若，則）；
3．左右同正不等式：兩邊可以同時乘方或開方：若，則或；
4．若，，則；若，，則。如
（1）對於實數中，給出下列命題：
⑦； ⑧，則。
其中正確的命題是______
（答：②③⑥⑦⑧）；
（2）已知，，則的取值範圍是______
（答：）；
（3）已知，且則的取值範圍是______
（答：）
二．不等式大小比較的常用方法：
1．作差：作差後通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結果；
2．作商（常用於分數指數冪的代數式）；
3．分析法；
4．平方法；
5．分子（或分母）有理化；
6．利用函式的單調性；
7．尋找中間量或放縮法 ；
8．圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。如
（1）設，比較的大小
（答：當時，（時取等號）；當時，（時取等號））；
（2）設，，，試比較的大小
（答：）；
（3）比較1+與的大小
（答：當或時，1+＞；當時，1+＜；當時，1+＝）
三．利用重要不等式求函式最值時，你是否注意到：「一正二定三相等，和定積最大，積定和最小」這17字方針。如
（1）下列命題中正確的是
a、的最小值是2
b、的最小值是2
c、的最大值是
d、的最小值是
（答：c）；
（2）若，則的最小值是______
（答：）；
（3）正數滿足，則的最小值為______
（答：）；
4.常用不等式有：（1）(根據目標不等式左右的運算結構選用) ；（2）a、b、cr，（當且僅當時，取等號）；（3）若，則（糖水的濃度問題）。如
如果正數、滿足，則的取值範圍是_________
（答：）
五．證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法(比較法的步驟是：作差（商）後通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與1的大小，然後作出結論。).
常用的放縮技巧有：
如（1）已知，求證： ；
(2) 已知，求證：；
（3）已知，且，求證：；
(4)若a、b、c是不全相等的正數，求證：；
（5）已知，求證：；
(6)若，求證：；
(7)已知，求證：；
（8）求證：。
六．簡單的一元高次不等式的解法：標根法：其步驟是：
（1）分解成若干個一次因式的積，並使每乙個因式中最高次項的係數為正；（2）將每乙個一次因式的根標在數軸上，從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線；並注意奇穿過偶彈回；（3）根據曲線顯現的符號變化規律，寫出不等式的解集。如
（1）解不等式。
（答：或）；
（2）不等式的解集是____
（答：或）；
（3）設函式、的定義域都是r，且的解集為，的解集為，則不等式的解集為______
（答：）；
（4）要使滿足關於的不等式（解集非空）的每乙個的值至少滿足不等式中的乙個，則實數的取值範圍是______.
（答：）
七．分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0，再通分並將分子分母分解因式，並使每乙個因式中最高次項的係數為正，最後用標根法求解。解分式不等式時，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負時可去分母。
如（1）解不等式
（答：）；
（2）關於的不等式的解集為，則關於的不等式的解集為
（答：）.
八．絕對值不等式的解法：
1．分段討論法（最後結果應取各段的並集）：如解不等式
（答：）；
（2）利用絕對值的定義；
（3）數形結合；如解不等式
（答：）
（4）兩邊平方：如
若不等式對恆成立，則實數的取值範圍為______。
（答：）
九．含參不等式的解法：求解的通法是「定義域為前提，函式增減性為基礎，分類討論是關鍵．」注意解完之後要寫上：「綜上，原不等式的解集是…」。
注意：按引數討論，最後應按引數取值分別說明其解集；但若按未知數討論，最後應求並集. 如
（1）若，則的取值範圍是
（答：或）；
（2）解不等式
（答：時，；時，或；時，或）
提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最後務必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端點值往往是不等式對應方程的根或不等式有意義範圍的端點值。如關於的不等式的解集為，則不等式的解集為答：
（－1,2））
十一．含絕對值不等式的性質：
同號或有；
異號或有.
如設，實數滿足，求證：
十二．不等式的恆成立,能成立,恰成立等問題：不等式恆成立問題的常規處理方式？（常應用函式方程思想和「分離變數法」轉化為最值問題，也可抓住所給不等式的結構特徵，利用數形結合法）
1).恆成立問題
若不等式在區間上恆成立,則等價於在區間上
若不等式在區間上恆成立,則等價於在區間上
如（1）設實數滿足，當時，的取值範圍是______
（答：）；
（2）不等式對一切實數恆成立，求實數的取值範圍_____
（答：）；
（3）若不等式對滿足的所有都成立，則的取值範圍_____
（答：（,））；
（4）若不等式對於任意正整數恆成立，則實數的取值範圍是_____
（答：）；
（5）若不等式對的所有實數都成立，求的取值範圍.
（答：）
2). 能成立問題
若在區間上存在實數使不等式成立,則等價於在區間上；
若在區間上存在實數使不等式成立,則等價於在區間上的.如
已知不等式在實數集上的解集不是空集，求實數的取值範圍____
（答：）
3). 恰成立問題
若不等式在區間上恰成立, 則等價於不等式的解集為；
若不等式在區間上恰成立, 則等價於不等式的解集為.
不等式證明例題講解
例1 已知a，b r，求證a2 b2 ab a b 1 證明 a2 b2 ab a b 1 a2 b2 ab a b 1，當且僅當a b 1時等號成立 評述這是乙個用求差比較法證明的不等式，對差式的變形是拆項和配方，以利用實數的性質 a2 0 此不等式的證明還可採用函式的方法 設f a a2 b2 ...
經典的不等式專題
1.證明 2.若 求證 3.若 求證 4.若 且，求 的取值範圍 5.若 是的三邊，求證 6.當時，求證 7.若，求的值域 8.求函式的最大值和最小值 9.若，求證 10.若，且，試求 的取值範圍 11.若，且，求的最小值 12.若，且，求的最大值和最小值 13.若，且滿足，求 的值 14.求證 1...
不等式經典習題
經典習題 1 若不等式的解集中的整數有且僅有，則的取值範圍為2 不等式的解集為 3 解不等式.4 若不等式組的整數解只有，問應取怎樣的值？5 已知全集，集合，則等於 ab cd 6 2010全國卷2文數 不等式 0的解集為 a b c d 7 不等式的解集是 8 解關於的不等式 9 杭州質檢 已知關...