1. 證明：；
2. 若：，求證： ；
3. 若：，求證：；
4. 若：，且，求：的取值範圍 ；
5. 若：是的三邊，求證： ；
6. 當時，求證： ；
7. 若，求的值域 ；
8. 求函式的最大值和最小值 ；
9. 若，求證： ；
10.若，且，試求：的取值範圍；
11.若，且，求的最小值；
12.若，且，求的最大值和最小值；
13.若，，且滿足，，
，求：的值；
14.求證： ；
15.當時，求證：；
16.求證： ；
17.求證： ；
18.已知：,求證： ；
19.已知：，求證： ；
20.已知：，求證： ；
21.已知：，求證： ；
22.設：，求證： ；
23.已知：，求證： .
23個經典的不等式專題解析
1. 證明： ；
[證明].
從第二項開始放縮後，進行裂項求和. 此法稱為「放縮法」.
另：本題也可以採用積分法證明.
構建函式：，則在區間為單調遞減函式.
於是：從第二項開始用積分，當函式是減函式時，積分項大於求和項時，積分限為；
積分項小於求和項時，積分限為. 此法稱為「積分法」.
2. 若：，求證：
[證明]，即：
則：，，即：，即：.
立方和公式以及均值不等式配合. 此法稱為立方和的「公式法」.
另：本題也可以採用琴生不等式證明.
構建函式：，則在在區間為單調遞增函式，且是下凸函式.
對於此類函式，琴生不等式表述為：函式值得平均值不小於平均值的函式值.
即： 對於本題： 即：
即：，即：，即：
琴生不等式可秒此題. 此法稱為「琴生不等式」.
另：本題還可以採用權方和不等式.
權方和不等式：若（，，或）
則： 已知：，即：
採用權方和不等式：
即：，即：. 此法稱為「權方和不等式」.
3. 若：，求證：
[解析] 由： 得： ，
則：， 即：
故： .
從一開始就放縮，然後求和. 此法稱為「放縮法」.
另：本題也可以採用不等式性質證明.
所證不等式中的任何一項如第項，均滿足，當有項累加時，
不等式兩個邊界項乘以倍，則不等式依然成立.
即：大於最小值得倍，小於最大值的倍.
另外，的最大值是，本題有些松.
4.若：，且，求：的取值範圍 ；
[解析]，
令：，則上式為：. 解之得：.
均值不等式和二次不等式.
5. 若：是的三邊，求證：
[證明] 建構函式，則在時，為增函式.
所以，對於三角形來說，兩邊之和大於第三邊，即：
那麼，，即： .
.建構函式法，利用單調性，再放縮，得到結果.
另：不等式的入門證法就是「作差法」和「作商法」. 「作差法」即兩項相減得差與0比較；作商法」即同號兩項相除得商與1比較.
本題亦可以採用「作差法」.
6. 當時，求證：
[證明] 當時，，
都擴大倍得：，取倒數得：，
裂項：，求和：，
即：. 先放縮，裂項求和，再放縮.
另：本題也可以採用積分證明.
構建函式：，則在區間為單調遞減函式.
由面積關係得到：
即： 即：
本式實際上是放縮法得到的基本不等式，同前面裂項式.
後面的證法同前.
7. 若，求的值域
[解析]
設：，，
則：，，
代入向量不等式：得：，故：.
當且僅當時，不等式的等號成立.
因為與不平行，故：.
這回用絕對值不等式. 此法稱為「向量法」.
本題另解.
求函式的極值，從而得到不等式.
求導得：
則：，故函式的極值出現在.
函式為奇函式，故我們僅討論正半軸就可以了，即在.
由於是奇函式，故在，
故：. 此法稱為「極值法」.
8、求函式的最大值和最小值 ；
[解析] 將函式稍作變形為： ，
設點，點，則，，而點在單位圓上，就是一條直線的斜率，是過點和圓上點直線斜率的倍，關鍵是直線過圓上的點.直線與單位圓的交點的縱座標範圍就是： .故的最大值是，最小值是.
原本要計算一番，這用分析法，免計算了. 此法稱為「斜率法」.
另：如果要計算.
先變形：變形為：；
即：；即：，即：；
即：，即：，即：，即：
如果要計算，需要用到輔助角公式. 此法稱為「輔助角法」.
9. 若，求證：
[證明] 由柯西不等式：
即： 即：
柯西不等式. 此法稱為「柯西不等式」.
本題也可以採用「排序不等式」證明.
首先將不等式變形：；
即：，即：.
由於對稱性，不妨設：，則：；
即：.由排序不等式得：
正序和亂序和；
正序和亂序和；
上兩式相加得：
即： 證畢.
排序不等式. 此法稱為「排序不等式」.
本題還可以採用權方和不等式.
權方和不等式：若（，，或）
則： 採用權方和不等式得：
權方和不等式. 此法稱為「權方和不等式」.
10.若，且，試求：的取值範圍.
[解析] 柯西不等式：；
即：，故：；
所以：.
柯西不等式. 此法稱為「柯西不等式」.
另：本題亦可採用求極值的方法證明.
構建拉格朗日函式：
由在極值點的導數為0得：
，則：，即：；
，則：，即：；
，則：，即：.
代入得：
極值點為：，，
則：，即：
此法稱為「拉格朗日乘數法」或「拉氏乘數法」.
本題也可採用「權方和不等式」.
即：，即:
其中，就是權方和不等式」.
11.若，且，求的最小值.
[解析]設：，，
則：；；；
代入得：；
即：，故：最小值為4.
向量不等式. 此法稱為「向量法」.
向量不等式是柯西不等式的特殊形式，本題當然可用柯西不等式.
，即：此法稱為「柯西不等式」.
用拉格朗日乘數法也行.
構建拉氏函式：
在極值點的導數為0，即：，即：；
，即：；
，即：.
代入得：
則：，，
故： 求極值時，要判斷是極大值還是極小值，只需用賦值法代一下.
此法稱為「拉格朗日乘數法」.
本題也可採用「權方和不等式」.
此法稱為「權方和不等式」.
12.若，且，求的最大值和最小值.
[解析] 柯西不等式：
即：；故：.
於是：.
柯西不等式. 此法稱為「柯西不等式」.
另：本題也可以採用換元法求解.
有人說：是乙個橢球面，沒錯. 它是乙個不等軸的橢球. 它的三個半軸長分別為：，，
設：，，，則這個橢球的方程為：
現在來求的最大值和最小值.
採用三角換元法：
令：，，
代入方程檢驗，可知它滿足方程.
採用輔助角公式化簡：
故：的峰值是：
當時，即： 而，
故：，即：.
此法稱為「三角換元法」和「輔助角法」.
13.若，，且滿足，，
，求：的值.
[解析] 本題滿足：
即柯西不等式中等號成立的條件.
故有：，即：，，.
則：；即：，即：
故： .
柯西不等式中等號成立. 此法稱為「柯西不等式」.
14.求證：.
[證明]
注意變形為不等式的方法，雖然仍是「放縮法」.
另：本題也可以採用積分法證明.
構建函式：，則在區間為單調遞減函式.
此法稱為「積分法」.
15.當時，求證：.
[證明]由二項式定理得：
;由二項式定理得：
.本題由二項式中，保留前兩項進行放縮得到：；
本題由二項式中，分子由從n開始的k個遞減數連乘，分母由k個n連乘，得到的分數必定小於1. 於是得到：. 此法為「放縮法」.
另：本題也可以利用函式的基本性質證明.
構建函式：，則在時，函式為單調遞增函式.
故：在時，
利用基本不等式：，即：
則：.本方法需要運用，該不等式成立的條件是：.
此法稱為「單調性法」和「指數不等式」.
16.求證：.
[證明]，故：；
令：，；則：，
即： ；
故：由得：，
即：，故：代入式得：
則：原式=
本題的關鍵在於把根式或其他式子換成兩個相鄰的根式差，
然後利用求和來消去中間部分，只剩兩頭.
此法稱為「裂項相消法」，只不過更另類一些.
17.求證：.
[證明] 由得：；
即：由： 得：
即：，即：，
即：，即：
故：，多項求和：
由，本題得證.
本題還是採用級數求和的放縮法. 此法稱為「放縮法」和「裂項相消法」.
18.已知：,求證：.
[證明] (1)建構函式：，則：.
當時，函式的導數為：，
即當時，函式為增函式. 即：；
故：，即：
(2) 建構函式：，則：.
當時，其導數為：.
即當時，函式為增函式. 即：；
故：，即：
由(1)和(2)，本題證畢.
本題採用建構函式法，利用函式單調性來證題.
此法稱為「建構函式法」和「單調性法」.
19.已知：，求證：.
[證明] 先建構函式：，在函式圖象上分別取三點，
即：, , ,
我們來看一下這幾個圖形的面積關係：
；即： ；
即： ；
即： ；
(1)求和：
求和：；
即：；(2)求和：
即：;由(1)和(2)證畢. 本題採用建構函式法，利用函式的面積積分來證題.
此法稱為「建構函式法」和「積分法」.
20.已知：，求證：.
[證明] 當時，.
由二項式定理得：
. 證畢.
本題利用二項式定理進行放縮得證.
21.已知：，求證：
[證明] 設：，則：
證畢.將1以後的項數，按2的次方個數劃分成n組，每組都大於，這樣放縮得證.
此法稱為「分段放縮法」.
22.設：，求證：
[證明] 由得：，
求和得：
即： 即：.
本題首先構建含有的不等式，構建成功，本題得證.
23.已知：，求證：
[證明] 設： ；
採用倒序相加得：
；各括號內通分得：；；
由：；；；……
共有：項.
將上述不等式代入式得：
；即：另：；即：
由和，本題得證.
本題中有項，將其放縮為同分母的分式是解題關鍵. 此法稱為「倒序相加法」
專題六 不等式與不等式組
2009年中考試題專題之7 不等式與不等式組試題及答案 一 填空題 1.2009年北京市 不等式的解集是 2.2009年瀘州 關於x的方程的解為正實數，則k的取值範圍是 3 2009年吉林省 不等式的解集為 4 2009年遂寧 把不等式組的解集表示在數軸上，如圖所示，那麼這個不等式組的解集是 5 2...
不等式專題02 基本不等式的證明
基本不等式的證明 知識網路 1 重要的基本不等式，不等式等號成立的條件 2 證明不等式的方法及應用。典型例題 例1 1 設，已知命題 命題，則是成 立的條件 答案 充分不必要條件 解析 是等號成立的條件。2 若為 abc的三條邊，且，則 2p,p從小到大排列順序是 答案 解析 又 3 設x 0,y ...
不等式與不等式組經典習題
組為二 選擇題 16.下列不等式中，是一元一次不等式的是 a b c d 17.不等式的解集是 a b c d 18.一元一次不等式組的解集是 a b c d 19.如圖1，在數軸上所表示的是哪乙個不等式的解集 a b c d 20.如果兩個不等式的解集相同，那麼這兩個不等式叫做同解不等式.下列兩個...