關於用割圓術推導
圓周率的計算公式的方法
周家軍（家庭位址：廣西陸川縣良田鎮馮杏村22隊，郵編：537717）
（目前所在地：廣西柳州市，電子郵箱：
摘要：圓周率的計算是有據可依的，它的計算公式在數學上可以推導出來。利用割圓術，可以推導出圓周率的計算公式。
關鍵詞：割圓術；直徑分割；半徑分割；圓心角。
1、緒言
利用割圓術，可以推導出圓周率的計算公式。
2、用外切圓分割正多邊形
假設有乙個圓，半徑為r，圓心為o，用n根線段（直徑）將其均勻分割，如圖所示。將各端點連線起來，那麼它就是乙個有2n個偶數邊的正多邊形。由此可見，此圓周是正多形的外切圓。
假若組成正多邊形的乙個三角形為δaob，圓心角為α ,設ab=s，正多邊形的周長為l，依題意，有：
oa=ob=r
正多邊形的周長l為：
l=2*n*s
圓心角α和分割圓的線段（直徑）n的關係為：
根據三角函式，可以列出正多邊形的邊長s和圓周半徑r的關係式，為：
s2=r2+r2-2*r*r*cos（α）
2.1、圓周率以正多邊形的割邊數n為變數的計算形式
如果分割圓的線段（直徑）n越多，圓周就被分割得越細，組成的正多邊形的邊就越多。那麼正多邊形的周長就越接近於圓周的周長，因此，依此就可推導出圓周率的計算公式，為：
2.2、圓周率以正多邊形的圓心角α為變數的計算形式
若以圓心角α為變數，也可得到圓周率的另一種計算公式。
圓心角α值越小，分割圓的直徑數n就越多，圓就被分割得越細，組成正多邊形的邊就越多，正多邊形的周長就越接近於圓的周長。因此，依題意有：
將n=代入上式，可得：
3、用外切圓分割正多邊形計算圓周率的另一種方式
過o點作ab的垂線od，如圖所示：
在δaod中，依題意有：
oa=r
∠aod=
ad=根據三角函式，有如下的關係式：
ad=r*sin()
=r*sin()
s=2*r*sin()
正多邊形的周長l為：
l=2*n*s
=2* * 2*r*sin()
3.1、圓周率以正多邊形的圓心角α為變數的計算形式
圓周率的計算公式為：
3.2、圓周率以正多邊形的割邊數n為變數的計算形式
若要以線段（直徑）n為變數，將a =代入上式，即可得
4、用內切圓分割正多邊形
在上面的圓周率推導中，是以正多邊形的外切圓來進行的。也可以以正多邊形的內切圓來推導。用n根線段（直徑）將圓周均勻分割，在端點處作該線段的垂線，各垂線所形成的圖形就是乙個正多邊形，圓圈就是正多邊形的內切圓。
如下圖所示：
假設組成正多邊形的乙個三角形為δaob，垂足點為d。邊長ab=s，正多邊形的周長為l，圓心角為α。依題意，有：
od=r
α的大小和分割的線段（直徑）n有關聯，n越大，正多邊形的邊就越多，α就越小；反之，意然。它們的關係式如下：
在δoad中，根據三角函式關係，可列出如下關係式：
ad=∠aod=
ad=od*tg()
= r* tg()
s= 2*r* tg()
正多邊形的周長l為：
l=2*n*s
=2** 2*r* tg()
4.1、圓周率以正多邊形的圓心角α為變數的計算形式
如果分割圓的線段（直徑）n越多，圓周就被分割得越細，組成的正多邊形的邊就越多。那麼正多邊形的周長就越接近於圓的周長，因此，依此就可得出圓周率的計算公式，為：
4.2、圓周率以正多邊形的割邊數n為變數的計算形式
將代入上式，可得到以線段（直徑）n為變數的另一種形式的計算式子：
5、圓周率的取值及祖沖之密率證明
將以上推導的圓周率的計算公式整理如下：
或：公式和、和、和是等價的，可以相互轉換，轉換因子為。
（用公式計算圓周率時，理論分析上，n只能取正整數，a為能被360整除並且結果為偶數的值，這樣，才能和題意所說的條件相符合，也只有這樣，計算出的圓周率值才能越準確。）
以上是用直徑分割圓周來推導圓周率計算公式，也可以用半徑來分割圓周，推導出圓周率的計算式子。在此就不一一敘述了，有興趣的朋友可以做一做。
大概在2023年或2023年，我就推導出這些圓周率計算公式。我曾經將公式給我的數學老師（梁春崇先生）看，他試圖用洛必達法則來證明，因進入乙個迴圈，未果。
歷史上，祖沖之算出了圓周率在3.1415926和3.1415927之間。
他還得出圓的密率為，這是可以證明的。在以上有a的式子裡，將a=7代入公式，在內切圓中，π≈≈,在外切圓中，π≈≈。由此可知，祖沖之用了n==25.
7≈26，用了26根棍子（直徑）去分割圓，才算出了圓周的這個密率。
如果將π=3.1415926代入式，整理後，得：
2*n2-2*n2*cos - 3.1415926*3.1415926=0
這個式子我不知道怎樣解，如果哪位朋友如果知道解法，麻煩就請解一下，將n值求出來，就可知道祖沖之當時用了多少根棍子去分割圓，才算出了這個圓周率。不過，當我用數字代入n值後計算時，我發現，只有當n=5000時，派=3.14159260，也就是說，用了5000根棍子（直徑）去分割圓周。
6、圓周率的其他計算形式
當用（k為任意正數 ）代入上面的公式，可得到圓周率的另一種計算公式。這個公式依然可以計算出圓周率的值。
比如說：當k=1時，，代入上式：
代入式得
代入式得
代入式得
（這就是用半徑分割圓周推導的圓周率的計算公式）
用以上式子計算時，要記註n和a的取值範圍，n→∞，而a→0，並且，n要取整數，a要取能被360整除的數，這樣，計算出來的圓周率就越準確。
***完***
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