【2023年高考會這樣考】
1．考查直線與圓相交、相切的問題．能根據給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關係，能根據給定兩個圓的方程判斷兩圓的位置關係．
2．考查與圓有關的量的計算，如半徑、面積、弦長的計算．
【複習指導】
1．會用代數法或幾何法判定點、直線與圓的位置關係．
2．掌握圓的幾何性質，通過數形結合法解決圓的切線、直線被圓截得的弦長等直線與圓的綜合問題，體會用代數法處理幾何問題的思想．
基礎梳理
1．直線與圓的位置關係
位置關係有三種：相離、相切、相交．
判斷直線與圓的位置關係常見的有兩種方法：
(1)代數法：
(2)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關係：d＜r相交，d＝r相切，d＞r相離．
2．圓與圓的位置關係的判定
設⊙c1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r (r1＞0)，
⊙c2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r (r2＞0)，則有：
|c1c2|＞r1＋r2⊙c1與⊙c2相離；
|c1c2|＝r1＋r2⊙c1與⊙c2外切；
|r1－r2|＜|c1c2|＜r1＋r2⊙c1與⊙c2相交；
|c1c2|＝|r1－r2|(r1≠r2)⊙c1與⊙c2內切；
|c1c2|＜|r1－r2|⊙c1與⊙c2內含．
一條規律
過圓外一點m可以作兩條直線與圓相切，其直線方程可用待定係數法，再利用圓心到切線的距離等於半徑列出關係式求出切線的斜率即可．
乙個指導
直線與圓的位置關係體現了圓的幾何性質和代數方法的結合，「代數法」與「幾何法」是從不同的方面和思路來判斷的，「代數法」側重於「數」，更多傾向於「座標」與「方程」；而「幾何法」則側重於「形」，利用了圖形的性質．解題時應根據具體條件選取合適的方法．
兩種方法
計算直線被圓截得的弦長的常用方法
(1)幾何方法
運用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長的一半及半徑構成直角三角形計算．
(2)代數方法
運用根與係數關係及弦長公式
|ab|＝|xa－xb|
＝.說明：圓的弦長、弦心距的計算常用幾何方法．
雙基自測
1．(人教a版教材習題改編)已知圓(x－1)2＋(y＋2)2＝6與直線2x＋y－5＝0的位置關係是( )．
a．相切 b．相交但直線不過圓心
c．相交過圓心 d．相離
解析由題意知圓心(1，－2)到直線2x＋y－5＝0的距離d＝＝＜.且2×1＋(－2)－5≠0，因此該直線與圓相交但不過圓心．
答案 b
2．圓x2＋y2－4x＝0在點p(1，)處的切線方程為( )．
a．x＋y－2＝0 b．x＋y－4＝0
c．x－y＋4＝0 d．x－y＋2＝0
解析圓的方程為(x－2)2＋y2＝4，圓心座標為(2,0)，半徑為2，點p在圓上，設切線方程為y－＝k(x－1)，
即kx－y－k＋＝0，∴＝2，解得k＝.
∴切線方程為y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0.
答案 d
3．(2011·安徽)若直線3x＋y＋a＝0過圓x2＋y2＋2x－4y＝0的圓心，則a的值為
( )．
a．－1 b．1 c．3 d．－3
解析由已知得圓的圓心為(－1,2)，則3×(－1)＋2＋a＝0，∴a＝1.
答案 b
4．(2012·東北三校聯考)圓o1：x2＋y2－2x＝0和圓o2：x2＋y2－4y＝0的位置關係是( )．
a．相離 b．相交 c．外切 d．內切
解析圓o1的圓心為(1,0)，半徑r1＝1，圓o2的圓心為(0,2)，半徑r2＝2，故兩圓的圓心距|o1o2|＝，而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，則有r2－r1＜|o1o2|＜r1＋r2，故兩圓相交．
答案 b
5．(2012·瀋陽月考)直線x－2y＋5＝0與圓x2＋y2＝8相交於a、b兩點，則|ab
解析 如圖，取ab中點c，
連線oc、oa.
則oc⊥ab，|oa|＝2，
|oc|＝＝，
∴|ac|＝＝，
∴|ab|＝2|ac|＝2.
答案 2
考向一直線與圓的位置關係的判定及應用
【例1】(2011·東莞模擬)若過點a(4,0)的直線l與曲線(x－2)2＋y2＝1有公共點，則直線l斜率的取值範圍為( )．
ab．(－，)
c. d.
[審題視點] 設出直線l的點斜式方程，構造圓心到直線距離與半徑的關係的不等式，從而求解．
解析設直線l的方程為：y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0
則：≤1.解得：k2≤，即－≤k≤.
答案 c
已知直線與圓的位置關係時，常用幾何法將位置關係轉化為圓心到直線的距離d與半徑r的大小關係，以此來確定引數的值或取值範圍．
【訓練1】 (2011·江西)若曲線c1：x2＋y2－2x＝0與曲線c2：y(y－mx－m)＝0有四個不同的交點，則實數m的取值範圍是( )．
a. b.∪
c. d.∪
解析整理曲線c1方程得，(x－1)2＋y2＝1，知曲線c1為以點c1(1,0)為圓心，以1為半徑的圓；曲線c2則表示兩條直線，即x軸與直線l：y＝m(x＋1)，顯然x軸與圓c1有兩個交點，知直線l與x軸相交，故有圓心c1到直線l的距離d＝＜r＝1，解得m∈，又當m＝0時，直線l與x軸重合，此時只有兩個交點，應捨去．故選b
答案 b
考向二圓與圓的位置關係的判定及應用
【例2】若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的長為2，則a
[審題視點] 兩圓方程相減得公共弦所在的直線方程，再利用半徑、弦長的一半及弦心距構成的直角三角形解得．
解析兩圓的方程相減，得公共弦所在的直線方程為(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4y＝，又a＞0，結合圖象，再利用半徑、弦長的一半及弦心距所構成的直角三角形，可知＝＝1a＝1.
答案 1
當兩圓相交時求其公共弦所在的直線方程或是公共弦長，只要把兩圓方程相減消掉二次項所得方程就是公共弦所在的直線方程，再根據其中乙個圓和這條直線就可以求出公共弦長．
【訓練2】 (2011·濟南模擬)兩個圓：c1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0與c2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切線有且僅有( )．
a．1條 b．2條 c．3條 d．4條
解析由題知c1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，則圓心c1(－1，－1)，c2：(x－2)2＋(y－1)2＝4，圓心c2(2,1)，兩圓半徑均為2，又|c1c2|＝＝＜4，則兩圓相交只有兩條外公切線，故選b.
答案 b
考向三直線與圓的綜合問題
【例3】(2012·福州調研)已知⊙m：x2＋(y－2)2＝1，q是x軸上的動點，qa，qb分別切⊙m於a，b兩點．
(1)若|ab|＝，求|mq|、q點的座標以及直線mq的方程；
(2)求證：直線ab恆過定點．
[審題視點] 第(1)問利用平面幾何的知識解決；第(2)問設點q的座標，從而確定點a、b的座標與ab的直線方程．
(1)解設直線mq交ab於點p，則|ap|＝，又|am|＝1，ap⊥mq，am⊥aq，得|mp|＝＝，
又∵|mq|＝，∴|mq|＝3.
設q(x,0)，而點m(0,2)，由＝3，得x＝±，
則q點的座標為(，0)或(－，0)．
從而直線mq的方程為2x＋y－2＝0或2x－y＋2＝0.
(2)證明設點q(q,0)，由幾何性質，可知a、b兩點在以qm為直徑的圓上，此圓的方程為x(x－q)＋y(y－2)＝0，而線段ab是此圓與已知圓的公共弦，即為qx－2y＋3＝0，所以直線ab恆過定點.
在解決直線與圓的位置關係時要充分考慮平面幾何知識的運用，如在直線與圓相交的有關線段長度計算中，要把圓的半徑、圓心到直線的距離、直線被圓截得的線段長度放在一起綜合考慮，不要單純依靠代數計算，這樣既簡單又不容易出錯．
【訓練3】 已知點p(0,5)及圓c：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
(1)若直線l過點p且被圓c截得的線段長為4，求l的方程；
(2)求過p點的圓c的弦的中點的軌跡方程．
解 (1)如圖所示，|ab|＝4，設d是線段ab的中點，則cd⊥ab，
∴|ad|＝2，|ac|＝點座標為(－2,6)．在rt△acd中，可得|cd|＝2.
設所求直線l的斜率為k，則直線l的方程為：y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.
由點c到直線ab的距離公式：＝2，得k＝.又直線l的斜率不存在時，也滿足題意，此時方程為x＝0.
當k＝時，直線l的方程為3x－4y＋20＝0.
∴所求直線l的方程為x＝0或3x－4y＋20＝0.
(2)設過p點的圓c的弦的中點為d(x，y)，則cd⊥pd，
即·＝0，∴(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0，
化簡得所求軌跡方程為x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.
難點突破20——高考中與圓交匯問題的求解
從近兩年新課標高考試題可以看出高考對圓的要求大大提高了，因此也就成了高考命題的乙個新熱點．由於圓的特有性質，使其具有很強的交匯性，在高考中圓可以直接或間接地綜合出現在許多問題之中，複習備考時值得重視．
一、圓與集合的交匯
【示例】 (2011·江蘇)a＝，b＝．若a∩b≠，則實數m的取值範圍是________．
第14講直線 圓的位置關係 1
一 課標要求 1 能用解方程組的方法求兩直線的交點座標 2 探索並掌握兩點間的距離公式 點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離 3能根據給定直線 圓的方程，判斷直線與圓 圓與圓的位置關係 4 能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題 5 在平面解析幾何初步的學習過程中，體會用代數方法處理幾何問題的...
直線與圓的位置關係
20.2.2 直線和圓的位置關係 1 一 選擇題 1 o的半徑為r，直線l1 l2 l3分別與 o相切 相交 相離，它們到圓心o的距離分別為d1 d2 d3，則有 a d1 r d2 d3 b d1 rd2 d3 2 在矩形abcd中，ac 8cm，acb 30 以b為圓心，4cm為半徑作 b，則 ...
直線與圓的位置關係
在解決與圓有關的問題時，常常需要新增輔助線.1 已知直線是圓的切點線時，通常需要連線圓心和切點，這條半徑垂直於切線.2 要證明一條直線是圓的切線 如果直線經過圓上某一點，則需要連線這點和圓心得到輔助線半徑，在證明所作半徑垂直於這條直線，已知公共點，連半徑證垂直 如果條件中直線與圓的公共點沒有確定，那...