在解決與圓有關的問題時，常常需要新增輔助線. （1）已知直線是圓的切點線時，通常需要連線圓心和切點，這條半徑垂直於切線. (2) 要證明一條直線是圓的切線：
①如果直線經過圓上某一點，則需要連線這點和圓心得到輔助線半徑，在證明所作半徑垂直於這條直線，（已知公共點，連半徑證垂直）；②如果條件中直線與圓的公共點沒有確定，那麼應過圓心做直線的垂線，得垂線段，在證明這條垂線段的長等於半徑. (未知公共點，作垂線證半徑)
切線長：經過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長.
切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，切線長相等.這一點與圓心的連線平分兩條切線的夾角.
三角形內切圓：與三角形各邊都相切的圓.
三角形的內心：三角形內切圓的圓心.這個三角形叫做這個圓的外切三角形.三角形的內心是三角形三條
內角平分線的交點，它到三角形三邊的距離相等.
型別1. 判斷直線與圓的位置關係
例1. 在中，∠c＝900，ac=3cm，bc=4cm，以c為圓心，r為半徑的圓與ab有什麼樣的位置關係？為什麼？
（1）r=2cm; (2) r=2.4 cm （3）r=3cm.
變式題：如圖，已知：∠aob＝300，p為ob上一點，且op=5cm，以p為圓心，以r為半徑的圓與直線oa有怎樣的位置關係？
為什麼？(1)r=2 cm ;(2) r=4 cm ;(3)r=2.5 cm.
例2. 如圖，在abc中，ad為bc上的高，且分別為ab、ac的中點，試問以ef為直徑的圓與bc有怎樣的位置關係？
變式題：如圖，正方形abcd中，邊長為1，以a點為圓心，1為半徑的圓與直線bc的位置關係？以a為圓心，半徑為多少時的圓與直線bd相切？
例3. 如圖，點a是乙個半徑為300m的圓形森林公園的中心，在森林公園附件有b、c兩個村莊，現要在b、c兩個村莊之間修一條長為1000m的筆直公路將兩村連同，經測得∠abc＝450，∠acb＝300,問此公路是否會穿過森林公園？請通過計算進行說明？
練習:1. 已知，如圖，abc內接於⊙o，ab是一條非直徑的弦，∠cad=∠b,試判斷ad與⊙o的位置
關係，並說明理由.
2. 如圖，在aoc中，若oa=ob=，⊙o的半徑，問：ab與⊙o相切、相交、相離時，∠aob的取值範圍.
型別2. 切線的判定
例1. 已知：直線ab經過⊙o上的點c，並且oa=ob,ca=cb，求證：直線ab是⊙o的切線.
例2. 如圖，已知：ab是⊙o的直徑，∠b＝450，ac=ab，求證：ac是⊙o的切線.
變式題：如圖已知：線段ab經過圓心o，交⊙o於點a、c，∠bad＝∠b＝300,邊bd交圓於d.
求證：bd是⊙o的切線.
例3. 如圖，ab是⊙o的直徑，點d在ab的延長線上，bd=ob，點c在⊙o上，∠cab＝300,
求證：dc是⊙o的切線.
練習：1．已知：如圖，a是⊙o上一點，半徑oc的延長線與過點a的直線交於b點，oc=bc,.
若∠acd＝450，oc=2，求弦cd的長.
2. 如圖oa⊥oc，且交⊙o於點b，e為⊙o上的一點，ae交oc於點，且ce=cd，
求證：ce是⊙o的切線.
型別3. 切線的性質
例1. 如圖，ab是⊙o的切線，a是切點，如果∠pab＝300,那麼∠aob
例2. 如圖，ab是⊙o的直徑,dc切⊙o於點e，連線ca,cb，如果ab=12cm，∠acd＝300,那麼ac= cm.
例3. 已知：如圖，ab是⊙o的直徑，p為⊙o外一點，pa⊥ab，弦bc∥op，
求證：pc是⊙o的切線.
練習：1. 如圖,a是⊙o外一點，b是⊙o上一點，bo⊥ao，ab交⊙o於d，過點d的直線交ao於c.若cd=ca,求證：cd是⊙o的切線.
2. ⊙o的圓心到直線的距離為，⊙o的半徑為r，當d、r是關於的方程的兩根，直線與⊙o的位置關係是 ；若⊙o的圓心到直線的距離d與⊙o的半徑r為關於的方程的根，且直線與⊙o相切，則m的值是 .
型別4.切線長的利用
例1. 已知：如圖，pa、pb是⊙o的切線，切點是a、b，q為弧ab上一點，過q點作⊙o的切線，交pa、pb於e、f點，已知pa=12 cm ,∠p＝700，（1）求pef的周長；（2）求∠eof的度數.
變式題：如圖，p為⊙o外一點，pa，pb分別切⊙o於a,b兩點，連線op，交⊙o於c，若pa=6,pc=
求⊙o的半徑oa及兩切線pa,pb的夾角.
例2. 如圖，已知：在abc中，∠b＝900，o是ab上一點，以o為圓心，ob為半徑的圓與ab交
於點e，與ac相切於點d.求證：de∥oc.
【拓展提公升】
例1. abc的內切圓的半徑為r，abc的周長為，求abc的面積s.
變式題：如圖，在abc中，i是內心，∠bic＝1100，求∠a.
例2. 如圖，等腰梯形abcd的上底為4，下底為10，⊙o是該梯形的內切圓，與各邊的切點分別為m、n、g、h，內切圓⊙o的半徑為2，p為⊙o上的一點，ef是過p的⊙o的切線，分別交ab於e，bc於f，求bef的周長.
例3. 小明按下面的方法作出了∠mon的平分線：
① 方向延長射線om
② 以點o為圓心，任意長為半徑作圓，分別交∠mon的兩邊於點a、b，交射線om的方向延長線於點c；
③ 連線cb；
④ 以o為頂點，oa為一邊作∠aop=∠ocb.
作出的圖形如下圖所示.
（1）射線op是∠mon的平分線？說明理由.
（2）若過點a作⊙o的切線交射線op於點f，連線ab交op於點e，當∠mon＝600、of=10時，求ae的長.
例4. 已知：如圖，⊙o是的內切圓，∠c＝900.
（1）若ac＝12cm，bc=9cm,求⊙o的半徑r；
（2）若ac=b,bc=,ab=c,求⊙o的半徑r.
例5. 已知：如圖，⊙o內切於等腰梯形abcd，切點分別是e、h、f、g，ab∥dc,ad=bc.
(1) 求證：線段ef是⊙o的直徑；
(2) 求證：∠aod＝900；
（3）若ab=，dc=2b，求此梯形的面積s.
例6. 已知：如圖，ab是⊙o的直徑，f、c是⊙o上兩點，且 = ,過c點作de⊥af的延長線於e點，交ab的延長線於d點.
（1）試判斷de與⊙o的位置關係，並證明你的結論;
（2）試判斷∠bcd與∠bac的大小關係，並證明你的結論.
練習：1. 如圖，兩個圓的圓心都為o，大圓的弦ab、ac分別和小圓相切於點d和e.
求證：de∥bc且.
2. 已知abc的內切與圓i分別切bc、ca、ab於點d、e、f.求證：∠edf＝（∠b+∠c）.
3. 已知：如圖，⊙o內切於，∠boc＝1050，∠acb＝900，ab=20cm.
求：bc、ac.
4. 如圖，四邊形abcd外切於⊙o，切點分別是e、f、g、h點.
(1) 若ab＝6cm，dc=8cm，求ad+bc;
(2) 四邊形abcd的對邊之和ab+cd與ad+bc之間有怎樣的數量關係？並證明你的結論.
直線與圓的位置關係
20.2.2 直線和圓的位置關係 1 一 選擇題 1 o的半徑為r，直線l1 l2 l3分別與 o相切 相交 相離，它們到圓心o的距離分別為d1 d2 d3，則有 a d1 r d2 d3 b d1 rd2 d3 2 在矩形abcd中，ac 8cm，acb 30 以b為圓心，4cm為半徑作 b，則 ...
2 3 3直線與圓的位置關係
課題 直線與圓的位置關係 學習目標 1.理解直線和圓的三種位置關係.2.會用代數與幾何兩種方法判斷直線和圓的位置關係.學習重難點 用代數與幾何兩種方法判斷直線和圓的位置關係.使用說明及學法指導 1.先精讀一遍教材p99 p101，用紅色筆進行勾畫 再針對預習自學二次閱讀並回答 2.若預習完可對合作 ...
直線與圓 圓與圓的位置關係
動直線與線段 曲線段 區域 相交 例若直線與曲線有公共點，則的取值範圍是什麼？例已知直線，及點 1 證明直線過某定點 2 當點到直線的距離最大是，求直線的方程.直線的斜率問題 例直線與圓心為的圓交於兩點，則直線與的傾斜角之和為多少 例已知直線過點，且與軸，軸的正半軸分別交於兩點，為座標原點，則面積的...