「直線與圓的位置關係」錯解剖析

安徽師院

例1　如圖（1），⊙o的半徑是1，p為⊙o外一點，pa切⊙o於點a，pa=1．若ab是⊙o的弦，且，則pb的長為（　　）

錯解選a．

剖析錯解只考慮到一種情況．事實上，ab可分別在oa的兩側，如圖（2）．鏈結oa、ob、，則oa⊥ap．

∴∠aob＝90°．同理可得∠aob′=90°．

∴　b、o、b′三點共線．

∴　ap∥ob．鏈結 bp．

∵ap=1，∴　四邊形oapb為正方形，

例2　以等腰△abc的底邊bc的中點o為圓心，作一圓與腰ab相切於點d．求證：此圓與另一腰ac也相切．

錯證鏈結od、oe（如圖）．

∵　ab＝ac，∴∠b＝∠c．

又∵　ob＝oc，od＝oe，

∴　△bod≌△coe．∴∠odb＝∠oec．

∵　ab是⊙o的切線，∴∠odb＝90°．

∴　∠oec=90°．∴⊙o與ac相切．

剖析這種證法僅憑直觀認為⊙o與ac是相交的，且交點為e，則oe即為⊙o的半徑，因此就錯誤地應用判定定理來論證．實際上，在證得⊙o和ac相切之前，不能確定⊙o與ac的位置關係，亦即不能確定⊙o和ac有無交點，有幾個交點，更不知交點在何處．所以斷定e為交點、oe為半徑是毫無根據的．

正確的證法是：鏈結od，作oe⊥ac於e，證oe＝od（即用若圓心到直線的距離等於半徑，那麼這條直線是圓的切線來證），這只要證rt△obd≌rt△oce即可．請讀者寫出證明過程．

例3　已知半徑為9的⊙o內的一內接等腰三角形abc，它底邊上的高ad與一腰的和是20，試求ad的長．

錯解如圖（l），延長ad交⊙o於e，鏈結be．則ae=2ao＝18．

設od=x，則ad＝ao＋od=9＋x，de=9-x．於是ab=20-ad=11-x，

∴　ad＝9十x=50．

剖析由於ad=50＞直徑18，顯然答案是錯誤的．致錯原因是沒有對圓心位置進行討論．我們不難發現，⊙o的半徑為9，而內接於圓的等腰三角形底邊上的高與一腰的和為20，顯然，ad只能是比10小的正數．因此，正確的圖形應為圖（2）（外心在△abc外）．由此不難求出正確答案．

在這裡，能避免由於所畫的圖形不準確而導致的錯誤嗎？回答是肯定的．我們可以避開對點d位置的討論，直接設ad=x，則ab=20-x．易證△abd∽△aeb．∴．即．於是，．解得．故ad的長為8．

例4　從不在⊙o上的一點a，作⊙o的割線，交⊙o於b、c，且ab·ac=64，oa＝10，則⊙o的半徑等於

錯解如圖（1），作直線oa交⊙o於點d、e．設⊙o的半徑為r，則ad=r-10，ae=r十10．由相交弦定理得 ab·ac=ad·ae，即64=（r－10）（r＋10），解得r=2（負值捨去）．

剖析錯解思維不全面，只考慮到點a在圓內的情況，未考慮到點a在⊙o外的情況．如圖（2），由切割線定理的推論得ab·ac=ad·ae．即 64=（10-r）（10＋r），解得 r＝6（負值捨去）。

例5　如圖，設c為線段ab的中點，bcde是以bc為底邊的正方形．以b為圓心，bd為半徑的圓與ab及其延長線相交於 f及 g．求證：．

錯證鏈結ad，則．鏈結db，則∠adb＝90°．

剖析鏈結ad後，就憑直觀判定ad是⊙b的切線，這是不正確的．ad是⊙b的切線應該進行證明．

正確證法鏈結ad、bd．

∵　ac＝cb=cd，∴　△adb是直角三角形．

∴　∠adb=90°，∴　ad是⊙b的切線．

例6　如圖，已知弦ab等於半徑．鏈結ob並延長使bc＝ob．

①求證：ac是⊙o的切線；

②請你在⊙o上選取一點d，使得ad=ac．（自己完成作圖，並給出證明過程）

①略．②錯解延長bo交⊙o於d，鏈結ad，則rt△oac≌rt△bad．

∴　ac=ad．∴　d點為所求．

剖析錯解忽視了圓的對稱性而導致漏解．事實上，以a為圓心，ad為半徑作弧交⊙o於d′．鏈結od′，則△aod≌△aod′．

∴ad＇=ad=ac．故點d和點d』即為所求．