【考情快遞】 直線與圓的問題以直線與圓的交匯問題為主，其中直線與圓的位置關係是乙個主要命題方向．
方法1：代數法
【例1】(2012·北京四中月考)已知圓m：(x＋cos θ)2＋(y－sin θ)2＝1，直線l：y＝kx，下面四個命題中的真命題為( )．
a．對任意實數k與θ，直線l和圓m相切
b．對任意實數k與θ，直線l和圓m都沒有公共點
c．對任意實數θ，必存在實數k，使得直線l和圓m相切
d．對任意實數k，必存在實數θ，使得直線l和圓m相切
解析圓的方程是x2＋y2＋2xcos θ－2ysin θ＝0，
將y＝kx代入，得(1＋k2)x2＋2(cos θ－ksin θ)x＝0，
解得x1＝0，x2＝，因此對任意實數k，θ，
直線與圓至少有乙個公共點(0,0)，選項b不正確；
只要x2≠0，直線與圓就存在兩個公共點，
即只要ksin θ－cos θ≠0即可，
根據k，θ的任意性，知選項a不正確；
又當x2＝0，即ksin θ＝cos θ時，若θ＝k1π(k1∈z)，
此時sin θ＝0，cos θ＝±1，就不存在實數k使得等式cos θ＝ksin θ成立，故選項c不正確，
反之，對任意實數k，當k＝0時，只要θ＝kπ＋，
當k≠0時，只要θ滿足tan θ＝即可，
根據正切函式性質
這是容易辦到的，故選項d正確．故選d.
答案 d
方法2：幾何法
【例2】已知直線l：mx－(m2＋1)y＝4m(m∈r)和圓c：x2＋y2－8x＋4y＋16＝0，是否存在實數m，使得直線l將圓c分割成弧長的比值為的兩段圓弧，若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．
解直線l的方程可化為y＝x－，
此時l的斜率k＝，因為|m|≤(m2＋1)，
所以|k|＝≤，當且僅當|m|＝1時等號成立，
所以斜率k的取值範圍是.
又y＝(x－4)，即l的方程為y＝k(x－4)，
其中|k|≤，圓c的圓心為c(4，－2)，半徑r＝2；
圓心c到直線l的距離d＝，
由|k|≤，得d≥＞1，即d＞，
從而l與圓c相交，
且直線l截圓c所得的弦所對的圓心角小於，
所以l不能將圓c分割成弧長的比值為的兩段弧．
方法運用訓練1
1．(江蘇啟東中學最新月考)將直線2x－y＋λ＝0沿x軸向左平移1個單位，所得直線與圓x2＋y2＋2x－4y＝0相切，則實數λ的值為( )．
a．－3或7 b．－2或8
c．0或10 d．1或11
解析設切點為c(x，y)，
則切點滿足2(x＋1)－y＋λ＝0，即y＝2(x＋1)＋λ，
代入圓方程整理得：5x2＋(2＋4λ)x＋(λ2－4)＝0，(*)
由直線與圓相切可知，(*)方程只有乙個解，
因而有δ＝0，得λ＝－3或7.
答案 a
2．(2012·人大附中最新月考)設m＞0，則直線(x＋y)＋1＋m＝0與圓x2＋y2＝m的位置關係為( )．
a．相切 b．相交
c．相切或相離 d．相交或相切
解析圓心到直線l的距離為d＝，圓半徑為.
因為d－r＝－＝(m－2＋1)
＝(－1)2≥0，所以直線與圓的位置關係是相切或相離，故選c.
答案 c
3．已知m(x0，y0)是圓x2＋y2＝r2(r＞0)內異於圓心的一點，則直線x0x＋y0y＝r2與此圓的位置關係為________．
解析圓心o(0,0)到直線x0x＋y0y＝r2的距離為d＝.因為p(x0，y0)在圓內，所以＜r.
則有d＞r，故直線和圓相離．
答案相離
4．在平面直角座標系xoy中，已知圓c1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圓c2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.
(1)若直線l過點a(4,0)，且被圓c1截得的弦長為2，求直線l的方程；
(2)設p為平面上的點，滿足：存在過點p的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓c1和圓c2相交，且直線l1被圓c1截得的弦長與直線l2被圓c2截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點p的座標．
解 (1)由題意知直線l的斜率存在，設直線l的斜率為k，則直線l的方程為：y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，
由垂徑定理，得圓心c1到直線l的距離
d＝＝1，
結合點到直線距離公式，得＝1，
化簡得：24k2＋7k＝0，k＝0，或k＝－，
所求直線l的方程為：y＝0或y＝－(x－4)，
即y＝0或7x＋24y－28＝0.
(2)設點p座標為(m，n)，直線l1、l2的方程分別為：
y－n＝k(x－m)，y－n＝－(x－m)，
即：kx－y＋n－km＝0，－ x－y＋n＋m＝0，
因為直線l1被圓c1截得的弦長與直線l2被圓c2截得的弦長相等，兩圓半徑相等．
由垂徑定理，得：圓心c1到直線l1與c2到直線l2的距離相等．
故有：＝，
化簡得：(2－m－n)k＝m－n－3或(m－n＋8)k＝m＋n－5.因為關於k的方程有無窮多解，有：或
解之得：點p座標為或.
直線與圓的位置關係
20.2.2 直線和圓的位置關係 1 一 選擇題 1 o的半徑為r，直線l1 l2 l3分別與 o相切 相交 相離，它們到圓心o的距離分別為d1 d2 d3，則有 a d1 r d2 d3 b d1 rd2 d3 2 在矩形abcd中，ac 8cm，acb 30 以b為圓心，4cm為半徑作 b，則 ...
直線與圓的位置關係
在解決與圓有關的問題時，常常需要新增輔助線.1 已知直線是圓的切點線時，通常需要連線圓心和切點，這條半徑垂直於切線.2 要證明一條直線是圓的切線 如果直線經過圓上某一點，則需要連線這點和圓心得到輔助線半徑，在證明所作半徑垂直於這條直線，已知公共點，連半徑證垂直 如果條件中直線與圓的公共點沒有確定，那...
2 3 3直線與圓的位置關係
課題 直線與圓的位置關係 學習目標 1.理解直線和圓的三種位置關係.2.會用代數與幾何兩種方法判斷直線和圓的位置關係.學習重難點 用代數與幾何兩種方法判斷直線和圓的位置關係.使用說明及學法指導 1.先精讀一遍教材p99 p101，用紅色筆進行勾畫 再針對預習自學二次閱讀並回答 2.若預習完可對合作 ...