第七章直線和圓的方程
本章的知識結構圖
第一節直線的傾斜角和斜率
學習目標：
1．了解直線的方程、方程的直線的定義；
2．掌握直線的傾斜角、直線的斜率的定義及其取值範圍；
3．掌握過兩點的直線的斜率公式，會運用公式求出有關直線的斜率和傾斜角．
重點難點
本節重點：正確地理解斜率的概念，熟練地掌握已知直線上兩點求直線斜率的公式，這是學好直線這部分內容的關鍵．
本節難點：正確理解直線傾斜角定義中的幾個條件，如直線與x軸相交與不相交，按逆時針方向旋轉、最小正角等．求傾斜角時，要特別注意其取值範圍是
高考中，由於本節內容是解析幾何成果中最基礎的部分，一般是隱含在綜合題中進行考查．
典型例題
【分析】
【解】【點評】
【分析】
【解】【點評】
【解法一】
代數方法：套兩點斜率公式．
【解法二】
【點評】
「解析幾何的特點之一是數形結合，數無形時少直觀，形無數時難入微．」在學習數學時，應該記住華羅庚的這段話．
教材上還涉及證明三點共線的練習題，怎樣證明三點共線呢？請看下面例4．
【分析】
證明三點共線，可以用代數方法、幾何方法，可以用直接證法、間接證法，你能想出至少乙個方法嗎？下面是同學們討論出的幾種證法供參考．
【證法一】
【證法二】
【證法三】
第二節直線的方程
學習目標
掌握直線方程的點斜式、兩點式、引數式、一般式，並能根據條件熟練地求出直線的方程式．
重點難點
本節重點：直線方程的點斜式和一般式，點斜式是推導直線方程其他形式的基礎，一般式是直線方程統一的表述形式．
本節難點：靈活運用直線方程的各種形式解題．
在高考中幾乎每年都要考查這部分內容，題型以選擇題、填空題居多．
典型例題
【分析】
關鍵是確定直線方程中的待定係數．
【解】【點評】
學習直線的方程常犯的錯誤是忽略方程各種形式的應用條件，因此造成丟解．本例中各個小題均為兩解，你做對了嗎？第（4）小題的解法一要用到下節學到的公式，解法二用到課外知識，供有興趣的同學欣賞．
【解法一】
【解法二】
【解法三】
【點評】
靈活運用直線方程的各種形式，常常要和平面幾何的有關知識相結合．本題還有別的解法，不再一一枚舉．
【解法一】
【解法二】
【解法三】
【證明】
【點評】
【分析】
【解法一】
【解法二】
【解法三】
【點評】
第三節兩條直線的位置關係
學習目標
1．掌握兩條直線平行與垂直的條件，以及兩條直線的夾角和點到直線的距離公式．
2．能夠根據直線的方程判斷兩條直線的位置關係．
重點難點
本節重點：兩條直線平行與垂直的條件，點到直線的距離公式．
本節難點：了解解析幾何的基本思想，並用解析幾何方法研究角．
在高考中，兩條直線的位置關係幾乎年年必考，常常單獨出現在選擇題和填空題中，或作為綜合題的一部分出現在解答題中．
典型例題
學習了本節以後，應該對兩條直線平行與垂直的充要條件，怎樣求直線的斜率、距離與角有哪些公式等問題進行歸納小結，以便提綱挈領地掌握有關知識，並靈活運用這些知識解決問題．
1．兩條直線平行、垂直的充要條件是什麼？
答：2．怎樣求直線的斜率？
答：3．距離和角有哪些公式？能靈活運用嗎？
答： 用下面的例題檢驗是否理解和掌握了以上這些內容．
1．兩條直線的位置關係
【解】【解】2．兩條直線所成的角
【解】【解法一】
【解法二】
3．有關交點的問題
（a）1 （b）2 （c）3 （d）4
【解法一】
【解】【解法二】
4．點到直線的距離
【錯誤的解】
【正確的解】
【解法一】
【解法二】
【解法三】
【解法四】
第四節簡單的線性規劃
學習目標
1．了解用二元一次不等式表示平面區域．
2．了解線性規劃的意義，並會簡單的應用．
重點難點
典型例題
學習了簡單的線性規劃以後，常見的題型是用二元一次不等式表示平面區域，以及用線性規劃的知識來解決一些簡單的問題．
下面的例題可檢驗是否掌握了這些內容．
1．二元一次不等式表示的區域
【分析】
【解】【點評】
例2 試討論點線距離公式中，去掉絕對值符號的規律？
【分析】
【解】【點評】
2．線性規劃初步
例3 鋼管長11.1公尺，需要截下1.5公尺和2.5公尺兩種不同長度的小鋼管，問如何擷取可使殘料最少？
【分析】
關鍵是利用約束條件，列出線性目標函式．
【解】【評析】
例4 用不超過500元的資金購買單價分別為60元、70元的單片軟體和盒裝磁碟，軟體至少買3片，磁碟至少買2盒，則不同的選購方式共有（ ）．
（a）5種 （b）6種 （c）7種 （d）8種
【解法一】
【解法二】
【解法三】
列表數點．故選（c）．
【點評】
本題為2023年全國高考試題第14題，難度係數0.47．如果有利用二元一次不等式表示平面區域的知識，此題將不再困難．
【分析】
甲的解法錯誤，錯在（1）、（2）（3）、（4），反之不行，用必要不充分條件代替原條件，使解的範圍擴大，[6，10]是[5，11]的子集．乙的解法正確．
本題數形結合，利用本節的知識還可以有以下的解法．
【解】【點評】
第六節曲線和方程
學習目標
1．掌握曲線的方程、方程的曲線等概念．
2．了解解析幾何的基本思想和解析法，學習運動變化、對立統一等辯證唯物主義思想．
重點難點
本節重點：了解曲線的點集與方程的解集之間的一一對應關係，從而掌握曲線的方程和方程的曲線這兩個重要概念，並掌握由曲線的已知條件求方程的方法和步驟，熟悉解析法．
本節難點：理解曲線和方程的概念，以及求曲線的方程的方法．
在高考中，曲線和方程常是重點考查的內容，出現在解答題中．
典型例題
學習了本節後主要要掌握求曲線的方程的步驟，以及用解析法解題的步驟，以下歸納供參考．
求曲線的方程的步驟是：
一建--選取適當的點和直線，建立座標系；
二設--設曲線上點，以及利用已知條件設出其他有關點的座標等；
三列式--根據動點符合的條件，列出含、的方程0；
四化簡--化方程0為最簡形式；
五證明--證曲線上點的座標都是方程的解，以這個方程的解為座標的點都在曲線上（這一步不要求寫出）．
解析法的主要步驟是：
一建--建立適當的座標系．建系原則是使已知條件好用，使表示式簡明，運算簡便．因此，盡量利用已知點和已知直線；
二設--選取一組基本量，用字母表示出題目涉及的點的座標和曲線的方程；
三算--通過運算，得到所要的結果．
用以下例題檢驗是否理解和掌握了這些內容．
1．怎樣求軌跡方程
【解法一】
【解法二】
【點評】
【錯誤解法】
【正確解法】
【點評】
【解法一】
【解法二】
【點評】
2．解析法與綜合法
【證法一】
【證法二】
【證法三】
【證法四】
【點評】
不同證法，以解析法較簡便，複數將在高三年級學習，這裡的證法實質和解析法一樣，不過是換個說法．
【分析】
【解】【點評】
解析法與綜合法的特點，從中你體會到了嗎？解析法的優點是程式固定（一建二設三算），操作簡便，但一般運算量較大；綜合法的優點是思路靈活，但如何新增輔助線不易掌握．
【解法一】
【解法二】
【解法三】
【解法四】
【點評】
「是否可以用代數中的計算過程代替幾何中的證明？」「讓代數和幾何中一切最好的東西互相取長補短」等是笛卡兒創立解析幾何的初衷．解析幾何既然是用代數方法來研究幾何物件的特徵和性質，當然對運算能力要求較高．運算能力是一種計算化了的推理能力，是邏輯思維能力與計算知識、方法、技能和技巧的結合．在解析幾何中，如果不注意運算方法上的特點和技能，就可能陷入有思路但算不出或很難算出正確結果的窘境，如本題的思路
一、二．解析幾何中常用的運算方法和技能是：
①注意利用平面幾何知識，如思路四；
②不忘利用定義，尤其是圓錐曲線的定**題；
③充分利用一元二次方程根與係數的關係，並不忘對判別式的要求，如思路三；
④合理利用曲線系；
⑤數形結合，依形判數，就數論形；
⑥靈活運用字母的可輪換性，減少同類量的重複運算．
以上方法和技能，要在實際解題中逐步掌握．
第七節圓的方程
學習目標
1．掌握圓的標準方程和一般方程，理解圓的引數方程．
2．初步了解直線和圓中反映出的運動變化、對立統一等辯證思想和觀點．
重點難點
本節重點：圓的標準方程、一般方程、引數方程及其相互轉化．
本節難點：直線和圓的綜合運用．
在高考中，圓的方程在選擇題、填空題、解答題等各類題型中出現．
本節要掌握三種型別的問題，之一是求圓的方程，之二是直線和圓的綜合題，之三是應用直線和圓的知識解決一些問題．
1．圓的方程有哪些形式？
典型例題
用下面的例題檢驗是否理解和掌握了圓的方程的三種形式：
【解法一】
【解法二】
【解法三】
【點評】
怎樣求圓的方程？這三條思路具有典型意義．
【解法一】
【解法二】
【點評】
【解法一】
【解法二】
【點評】
【分析】
關鍵確定圓心座標和半徑．
【解】【點評】
本題為2023年全國高考理科第25題，難度係數0.20．難在什麼地方呢？第一文字敘述較長，有同學讀不懂題；第二涉及眾多知識，有同學不會運用；第三丟解，忽略了不同的位置關係．會不會用知識和怎樣用知識，是乙個人有沒有能力和能力高低的重要標誌，努力吧！
2．直線和圓綜合題
【分析】
【解】【點評】
【解法一】
【解法二】
【點評】
【分析】
【解】【點評】
【解法一】
【解法二】
【點評】
分類是自然科學的基本方法，數學中的分類討論的思想方法，就是依據數學物件的共同點和差異點，將其區分為不同種類，分類討論並歸納結論，這一思想方法，在近代數學和現代數學中占有重要地位，是應該學習和掌握的重要思想方法．
直線和圓的方程
一 選擇題 每題3分，共54分 1 在直角座標系中，直線的傾斜角是 abcd 2 若圓c與圓關於原點對稱，則圓c的方程是 ab cd 3 直線同時要經過第 一 第二 第四象限，則應滿足 a b c d 4 已知直線，直線過點，且到的夾角為，則直線的方程是 a b c d 5 不等式表示的平面區域在直...
直線和圓的方程經典例題
1 直線平行充要條件問題。解析幾何 兩直線平行的充分必要條件 直線l1 a1x b1y c1 0與直線l2 a2x b2y c2 0，很多課外書給出了平行的充分必要條件是 a1b2 a2b1 0且b1c2 b2c1 0 如果用這個結論來解這道題 已知兩條直線l1 l2 當m為何值時,l1與l2平行？...
直線和圓的方程知識要點
一 直線方程.1.直線的傾斜角 一條直線向上的方向與軸正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角，其中直線與軸平行或重合時，其傾斜角為0，故直線傾斜角的範圍是.注 當或時，直線垂直於軸，它的斜率不存在.每一條直線都存在惟一的傾斜角，除與軸垂直的直線不存在斜率外，其餘每一條直線都有惟一的斜率，並且當直線...