★知識梳理★
1.兩條直線的平行與垂直關係(分斜率存在與不存在兩種情況討論)
若兩條不重合的直線的斜率都不存在,則這兩條直線平行;若一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率為0,則這兩條直線垂直.
已知直線, ,
若,與相交,則; 若,則 ;
若//,則且; 若與重合,則且
2.幾個公式
已知兩點,則
設點，直線點到直線的距離為
③設直線
則與間的距離
3.直線系
與直線平行的直線系方程為;
與直線垂直的直線系方程為;
③過兩直線的交點的直線系方程為
★重難點突破★
重點:掌握兩條直線的平行與垂直的充要條件；掌握兩點之間的距離公式，點到直線的距離公式，會求兩條平行線之間的距離.
難點:判斷兩條直線位置關係時的分類討論以及綜合運用平行與垂直的充要條件、距離公式解題
重難點:綜合運用平行與垂直的充要條件和三個距離公式,進行合理轉化之後求直線方程
（1）在判斷兩條直線的位置關係時的分類討論, 要防止因考慮不周造成的增解與漏解,關鍵是要樹立檢驗的意識.
要考慮斜率存在與斜率不存在兩種情形;
要考慮兩條直線平行時不能重合;
問題1:已知直線，，m為何值時，與平行
點撥：當m=0時，
當時，的斜率為，的斜率為
由得或，時與重合，時
（2）在分析題意,尋找解題思路時,要充分利用數形結合思想,將問題轉化,化繁為簡,有效降低運算量.
問題2:已知點p（2，1）求過p點與原點距離最大的直線的方程
點撥: 過p點與原點距離最大的直線為垂直於直線的直線,直線的斜率為-2,直線的方程為,即
（3）在使用點到直線的距離公式和兩條直線的距離公式時,應先將直線方程化為一般式,使用兩條直線的距離公式,還要使兩直線方程中的的係數對應相等
問題2：求直線與的距離
點撥：將的方程化為，則兩直線的距離為
(4)處理動直線過定點問題的常用的方法: ①將直線方程化為點斜式②化為過兩條直線的交點的直線系方程③特殊入手,先求其中兩條直線的交點,再驗證動直線恆過交點④從「恆成立」入手，將動直線方程看作對引數恆成立。
問題3:求證:直線恆過某定點，並求該定點的座標.
將直線方程化為
若直線過定點，則
上式對恆成立，，，該直線必過定點
★熱點考點題型探析★
考點1:兩直線的平行與垂直關係
題型: 判斷兩條直線平行與垂直
[例1 ] 已知直線：3mx+8y+3m-10=0 和： x+6my-4=0 問 m為何值時 （1）與相交（2）與平行（3）與垂直;
[解析]當時； ，與垂直
當時由，而無解
綜上所述（1）時與相交（2）與平行（3）時與垂直
【名師指引】判斷兩條直線的位置關係，一般要分類討論，分類討論要做到不重不漏，平時要培養分類討論的「意識」
[例2 ] 已知△三邊的方程為：，，；
（1）判斷三角形的形狀；
（2）當邊上的高為1時，求的值。
【解題思路】（1）三邊所在直線的斜率是定值,三個內角的大小是定值,可從計算斜率入手;
(2)邊上的高為1,即點到直線的距離為1，由此可得關於m的方程.
解析： （1）直線的斜率為，直線的斜率為，
所以，所以直線與互相垂直，
因此△為直角三角形
（2）解方程組，得，即
由點到直線的距離公式得 ，
當時，，即，解得或
【名師指引】（1）一般地，若兩條直線的方向（斜率、傾斜角、方向向量）確定，則兩條直線的夾角確定（2）在三角形中求直線方程，經常會結合三角形的高、角平分線、中線
【新題導練】
1.已知直線，直線，則「」是「直線」的（ ）
a．充分而不必要條件 b．必要而不充分條件 c．充要條件 d．既不充分也不必要條件
[解析]b
2.已知過點a(-2，m)和b(m，4)的直線與直線2x+y-1=0平行，則m的值為（ ）
a．0b．-8c．2d.10
[解析]設所求的直線，則那麼m=-8，選 b
3. 「m=」是「直線(m+2)x+3my+1=0與直線(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直」的( )
a．充分必要條件b．充分而不必要條件c．必要而不充分條件d.既不充分也不必要條件
[解析]當m=或-2時，兩條直線垂直，所以m=是兩條直線垂直的充分不必要條件，選 b
[點評]還要考慮斜率不存在的情形
4. (山東省棗莊市2008屆高三第一次調研考試)
已知直線l的傾斜角為，直線l1經過點垂直，直線l2：等於
a．－4 b．－2 c．0 d．2
[解析] b [,又]
考點2 點到直線的距離
題型:利用兩個距離公式解決有關問題
[例3 ] 已知直線及點
（1）證明直線過某定點，並求該定點的座標
（2）當點到直線的距離最大時，求直線的方程
【解題思路】分離引數求定點座標;尋找到直線的距離最大時，直線滿足的條件
解析：（1）將直線的方程化為：，
無論如何變化，該直線系都恆過直線與直線的交點，
由得，直線過定點
（2）當時點到直線的距離最大，此時直線的斜率為-5，直線的方程為即
【名師指引】（1）斜率不定的動直線，都應考慮是否過定點
（2）處理解析幾何的最值問題，一般方法有：函式法；幾何法
[例4 ] 已知三條直線 ，若與的距離是
（1）求a的值
（2）能否找到一點p使得p同時滿足下列三個條件①p是第一象限的點；②p點到的距離是p點到的距離的③p點到的距離與p點到的距離的之比是；若能，求p點座標；若不能，說明理由。
【解題思路】由三個條件可列三個方程或不等式，最終歸結為混合組是否有解的問題
[解析]（1）
(2)設同時滿足三個條件
由②得：設在上
則有1）
由③得：
2）由①得3）
解由（1）（2）（3）聯立的混合組得所以
【名師指引】（1）在條件比較多時，思路要理順；（2）解混合組時，一般是先解方程，再驗證不等式成立
【新題導練】
6. 點到直線的距離的最小值等於
[解析]
7. 與直線的距離為的直線方程為
[解析]或
8. 兩平行直線，分別過點p（-1，3），q（2，-1）它們分別繞p，q旋轉，但始終保持平行，則之，間的距離的取值範圍是（ ）
ab.（0，5cd.
[解析]最大值為p，q的距離，即5，選c
9.求過原點且與兩定點距離相等的直線的方程
[解析] 直線過線段ab的中點或平行於直線ab，故方程為或
考點3 直線系
題型1:運用直線系求直線方程
[例5 ]求過直線和的交點，且與直線垂直的直線方程和平行的直線方程。
【解題思路】可直接求交點，也可用直線系求解
[解析]解法一.設與直線垂直的直線方程為
設與直線平行的直線方程為聯立方程得與的交點（1，-1） 代入求得 m=-5，n=3
解法二.設與直線為由條件分別求得和化簡得和
【名師指引】（1）使用直線系方程可以迴避解方程組，從而達到減少運算量的目的
（2）注意直線系不表示直線，這是乙個容易丟解的地方
題型2:動直線過定點問題
[例6 ]已知圓，直線
⑴證明不取何值，直線過定點 ⑵證明直線恆與圓c相交
[解析](1)直線化為：故直線是經過和交點（3，1）的直線系，故過定點（3，1）
（2）因為所以（3,1）為圓內的點。故直線恆與圓c相交
【名師指引】在處理動直線過定點問題時，分離引數，轉化為過兩條定直線的交點的直線系是簡單易行的方法
【新題導練】
10、方程所確定的直線必經過點
a．（2，2b.（-2，2c.（-6，2d.（3，-6）
[解析]代入驗證，選a
11.已知為m實數，直線：（2m+1）x+（1-m）y-（4m+5）=0， p（7，0），求點p到直線的距離d的取值範圍。
[解析] 直線過定點，d的最大值為點p、q的距離，因點p、q的距離為，故d的取值範圍是
12.直線經過直線的交點，且與座標軸圍成的三角形是等腰直角三角形，求直線的方程
解析：設直線方程為,
化簡得:
直線與座標軸圍成的三角形是等腰直角三角形，直線的斜率為
,解得:或
代入並化簡得直線的方程為或
★搶分頻道★
基礎鞏固訓練
1、若過點和的直線與直線平行,則的值為
a．6 b． c．2 d．
[解析]，
2、已知三條直線和圍成乙個直角三角形，則的值是
a．或 b．-1或 c．0或-1或 d．0或或
[解析] c[直線垂直時，，但時後兩條直線重合，又時後兩條直線垂直，故選c]
3、若直線l：y＝kx－與直線2x＋3y－6＝0交點位於第一象限，則直線l的傾斜角的取值範圍是（ ）
abcd．[，)
[解析]b．[直線2x＋3y－6＝0與x軸、y軸交於（0，2）、（3，0）將兩點座標代入可得答案]
4、點p（x，y）在直線4x + 3y = 0上，且滿足－14≤x－y≤7，則點p到座標原點距離的取值範圍是（ ）
a. [0，5b. [0，10c. [5，10d. [5，15]
解：b. 由得，點p到座標原點距離的取值範圍是[0，10]
5、設, ,若僅有兩個元素,則實數的取值範圍是
[解析], 數形結合，注意到直線的斜率為1，當時直線與不可能有兩個交點
6、求經過直線和的交點，且與原點距離為的直線方程
[解析]解方程組得交點座標為（-1，-1），
設直線方程為即
，解得所求直線方程為
綜合提高訓練
7、已知直線與軸軸正半軸所圍成的四邊形有外接圓，則的取值範圍是
[解析]由題意知
直線與座標軸交於點和，直線與線段（不含端點）相交，
畫圖易得的取值範圍是
8、已知兩直線,求分別滿足下列條件的、的值．
（1）直線過點，並且直線與直線垂直；
兩條直線位置關係判斷方法
設平面上兩條直線的方程分別為 一 行列式法 記係數行列式為 和相交和平行或 和重合二 比值法 和相交 和垂直 和平行 和重合三 斜率法 條件 兩直線斜率都存在，則可化成點斜式 特別提醒 在具體判斷兩條直線的位置關係時，先考慮比值法，但要注意前提條件 分母不為零 再考慮斜率法，但也有條件 兩條直線的斜...
《1 2 2空間兩條直線的位置關係 2 異面直線 2 》教學案
1.2.2 空間兩條直線的位置關係 2 教學案 教學目標 1 深化對異面直線定義的理解 2 理解異面直線所成角的定義和範圍，能通過平移的方法將異面直線所成的角轉化成兩條相交直線所成的角 3 進一步體會空間問題平面化的解題策略 教材分析及教材內容的定位 兩條直線異面是空間兩條直線重要一種位置關係 異面...
7 2兩條直線的位置關係 石憲
1 理解直線與直線的位置關係的判定 點到直線的距離公式 兩直線的夾角公式 2 會靈活應用兩直線平行 垂直，點到直線的距離公式，兩直線的夾角公式等解決問題。1 平面內兩條直線的位置關係有三種 重合 平行 相交 1 當直線不平行於座標軸時，直線與直線的位置關係可根據下表判定 2 當直線平行於座標軸時可結...