課題：7.3 兩直線的位置關係
一、素質教育目標
1、知識教學點
⑴兩直線的位置關係――平行、垂直的充要條件
⑵直線l1到l2的角，直線l1與l2夾角
⑶兩直線的交點
⑷點到直線的距離公式，兩平行線間的距離
2、能力訓練點
⑴掌握斜率存在的兩直線平行與垂直的充要條件
⑵理解直線l1到l2的角及直線l1與l2夾角的定義，掌握直線l1到l2的角及直線l1與l2夾角的計算公式。
⑶掌握判斷兩直線相交的方法，會求兩直線交點座標。
⑷掌握點到直線的距離公式
⑸能夠選用恰當的座標系，用解析法證明平面幾何中的定理及平面幾何問題。
⑹能用聯絡的觀點、辯證的觀點看問題。
⑺能用「一分為二」的觀點看問題、分析問題。
⑻認識事物在一定的條件下能夠相互轉化。
二、教學重點、難點
1、重點：平行、垂直的充要條件，夾角公式，點到直線的距離公式
2、難點：直線l1到l2的角及直線l1與l2夾角的定義，直線l1到l2的角及直線l1與l2夾角的計算公式的推導。
三、課時安排
本課題安排4課時
四、教與學過程設計
第一課時平行與垂直
教學目標：
1、掌握斜率存在的兩直線平行的或垂直的充要條件，
2、能根據直線方程判斷兩條直線是否平行或垂直。
3、培養學生對數學理解能力、判斷能力，提高分析問題、解決問題的能力。
教學重點：兩直線平行的或垂直的充要條件。
教學難點：兩直線平行的或垂直的充要條件的理解與應用。
學法引導：
請沿著以下的脈絡學習，學習過程中要注意概念的理解、辨析和公式的記憶以及有關思想方法的把握。
教學過程：
一、提出問題
1、在初中的幾何中，平面內兩條不重合的直線的位置關係有哪幾種？
2、兩條直線的傾斜角相等，這兩條直線是否平行？反過來是否成立？
3、兩條直線的傾斜角與斜率有怎樣的關係？
4、直線的方向向量：
yyp2p2
p1p1
oxo x
直線上的向量及與它平行的向量都稱為直線的方向向量。直線p1p2的方向向量的座標是（x2－x1，y2－y1）,其中p1（x1,y1），p2（x2,y2）；當直線p1p2與x軸不垂直時，x2≠x1，此時也是直線p1p2的方向向量，且它的座標是，即（1，k），其中k為直線p1p2的斜率。
5、怎樣通過兩直線的方程來判斷兩條直線的位置關係？
二、探索研究
1、討論兩直線平行的問題
設直線l1、l2分別有如下的斜截式方程： l1：y = k1x + b1 , l2：y = k2x + b2
則l1∥l2的條件是什麼？
想一想：兩條直線的方向向量的座標是什麼？
向量法：∵l1的方向向量座標是（1，k1）, l2的方向向量座標是（1，k2）
∴l1∥l2時有1×k1－1×k2＝0即k1＝k2
解析法：如果l1∥l2（如圖），那麼直線在軸上的截距不相等，b1≠b2
但它們的傾斜角相等, α1＝α2 ，∴tanα1＝tanα2y
也就是k1 = k2
反過來，如果b1≠b2，則l1和l2不重合l2
如果k1 = k2也就是tanα1＝tanα2l1
那麼由0°≤α1 <180° , 0°≤α2 <1802 α1
並利用正切函式的圖象，可知α1＝α2 ∴ l1∥l2o x
結論：當直線l1、l2有斜截式方程l1：y = k1x + b1 , l2：y = k2x + b2 時
直線 l1∥l2 的充要條件是k1 = k2且 b1≠b2
想一想：當兩條直線的斜率不存在時，兩直線的位置關係如何？
2、討論兩直線垂直的問題
兩直線l1、l2的斜率為k1、k2時，
則直線l1有方向向量 a =（1，k1），直線l2有方向向量 b =（1，k2）
根據平面向量的有關知識，得
l1⊥l2a⊥b a·b=01×1+k1×k2=0
即l1⊥l2 k1·k2=－1
結論：如果兩條直線的斜率為 k1、k2 ，
那麼，l1⊥l2充要條件是k1·k2=－1
想一想：當兩條直線的斜率不存在時，兩直線垂直的判斷方法？
三、反思應用
例1 已知兩條直線 l1： 2x－4y+7=0 l2： x－2y+5=0，求證： l1∥l2
分析：用兩直線平行的充要條件來證明
例2 求過點a（1，－4）且與直線2x+3y+5=0平行的直線方程 。
分析：法一求出直線的斜率，再用直線的點斜式方程求解。
法二設所求直線的方程為： 2x+3y+b=0.求出b即可。
例3 已知兩直線l1： 2x－4y+7=0 l2： 2x+y－5=0 求證：l1⊥l2
分析：用兩直線垂直的充要條件來證明
例4 求過點a (2,1),且與直線2x + y－10=0垂直的直線的方程
分析： 求出直線的斜率，再用直線的點斜式方程求解。
例5 討論下列各對直線是否平行或垂直：
（1）l1：ax+by+c1=0與 l2：ax+by+c2=0
（2）l1：ax+by+c1=0與l2：－bx+ay+c2=0
分析（分類討論）分b＝0與b≠0
思考：已知l1：a1x+b1y+c1=0與 l2：a2x+b2y+c2=0，求l1∥l2與l1⊥l2的條件？
例6 已知兩直線l1：x+ay=2a+2 l2：ax+y=a+1
⑴若兩直線平行，求a的值
⑵若兩直線垂直，求a的值
例7．設直線l1: x+my+6=0，直線l2:(m-2)x+3y+2m=0，則當實數m為何值時才能有：
(1) l1⊥l2；
(2) l1//l2；(3) l1重合於l2?
解：直線l1⊥直線l2 1·(m-2)+m·3=0，解之得，
直線l1//直線l2
解(1)得m=3 或m=-1，而當m=3時(2)不能成立，當m=-1時(2)能成立。
直線l1重合於l2
解(3)得m=3或m=-1，而當m=-1時(2)不能成立，
當m=3時(2)能成立。
所以當m=1/2時，l1⊥l2；當m=-1時，l1//l2；當m=3時，l1重合於l2。
說明：在討論由直線方程一般式給出含有引數的兩直線的位置關係時，要適當地選擇表示兩直線垂直、平行、重合的充要條件的形式，盡量不使條件以分式形式出現。
例8：已知直線l的方程為3x+4y-12=0，求與l垂直並且與兩座標軸圍成的三角形面積為4的直線方程。
解：（1）設所求直線方程為4x-3y+n=0,
令y=0，得x=－n/4，令x=0, 得y=n/3，
得n2=96。
∴ ,故所求直線方程為：或。
說明：與直線ax+by+c=0垂直的直線係為bx-ay+n=0(n為引數)
課堂練習：教材p47 1、2、3
四、歸納總結
數學思想：數形結合、分類討論
數學方法：圖象法、公式法、向量法
知識點：兩直線平行與垂直的充要條件
五、作業： p53習題 1（1）（3）、2（1）（3）
第二課時兩直線的夾角
教學目標：
1.明確理解直線l1到l2的角及兩直線夾角的定義;
2.掌握直線l1到l2的角及兩直線夾角的計算公式;
3.能根據直線方程求直線l1到l2的角及兩直線夾角。
教學重點：兩條直線的夾角
教學難點：夾角概念的理解
教學過程
一、複習回顧
上一節課,我們一起研究了兩條直線的平行與垂直問題,得出了兩直線平行與垂直的充要條件,這一節,繼續研究兩直線相交而形成角的問題.
二、探索研究
1.直線l1到l2的角的定義
兩條直線l1和l2相交構成四個角,它們是兩對對頂角,我們把直線l1按逆時針方向旋轉到與l2重合時所轉的角,叫做l1到l2的角.
在圖中,直線l1到l2的角是θ1, l2到l1的角是θ2.
當直線l1⊥l2時,直線l1和l2的夾角是π/2.
說明:θ1＞0,θ2＞0,且θ1+θ2=π
2.直線l1到l2的角的公式:.
求斜率為k1、k2的兩條直線l1到l2的角的θ，設已知
直線的方程是l1：y = k1x + b1 , l2：y = k2x + b2.
如果1+k1k2=0，即k1k2=－1，則θ＝π/2
如果1+k1k2≠0,設l1、l2的傾斜角分別是α1和α2，
則tanα1＝k1,tanα2＝k2.
由圖（1）和圖（2）分別可知
θ=α2－α1或θ＝π―(α1－α2)＝π＋(α2－α1)
∴tanθ＝tan(α1－α2)或tanθ＝tan[π＋(α2－α1)]＝tan(α2－α1)
於是變：若已知直線的方程是l1：a1x＋b1y＋c1＝0 , l2：a2x＋b2y＋c2＝0(b1≠0,b2≠
0, a1a1＋b2b2≠0)，則直線l1到l2的角的公式是什麼？
3、l1和l2的夾角定義與公式如圖，l1到l2的角是θ, l2到l1的角是π-θ1,當l1與l2相交但不垂直時,θ和π-θ僅有乙個角是銳角,我們把其中的銳角叫兩條直線的夾角.
兩條直線位置關係判斷方法
設平面上兩條直線的方程分別為 一 行列式法 記係數行列式為 和相交和平行或 和重合二 比值法 和相交 和垂直 和平行 和重合三 斜率法 條件 兩直線斜率都存在，則可化成點斜式 特別提醒 在具體判斷兩條直線的位置關係時，先考慮比值法，但要注意前提條件 分母不為零 再考慮斜率法，但也有條件 兩條直線的斜...
第2講兩條直線的位置關係
知識梳理 1.兩條直線的平行與垂直關係 分斜率存在與不存在兩種情況討論 若兩條不重合的直線的斜率都不存在,則這兩條直線平行 若一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率為0,則這兩條直線垂直.已知直線,若,與相交,則 若,則 若 則且 若與重合,則且 2.幾個公式 已知兩點,則 設點，直線點到直線的距離...
7 2兩條直線的位置關係 石憲
1 理解直線與直線的位置關係的判定 點到直線的距離公式 兩直線的夾角公式 2 會靈活應用兩直線平行 垂直，點到直線的距離公式，兩直線的夾角公式等解決問題。1 平面內兩條直線的位置關係有三種 重合 平行 相交 1 當直線不平行於座標軸時，直線與直線的位置關係可根據下表判定 2 當直線平行於座標軸時可結...