馬振保橢圓是現行高中解析幾何學的重要內容之一，且圓錐曲線知識既是高中數學的重點，又是難點．而橢圓焦點三角形相關問題.在求解這類問題時，許多學生常常感到束手無策，部分學生由於計算量大的繁鎖，產生厭學數學的情緒．為了解除這種困惑，培養或提高學生學習數學的興趣，讓學生掌握一定的解題方法或數學思想是很必要的．在數學中，我們常常是利用性質去討論問題，因此，文章首先**橢圓焦點三角形的性質，然後再討論這些性質的應用.
橢圓上一點與其兩焦點所構成的三角形叫做橢圓的焦點三角形.
橢圓焦點三角形的性質
以橢圓的兩個焦點，及橢圓上任意一點（除長軸上兩個端點外）為頂點的，叫做橢圓的焦點三角形.
設=， =， =β，橢圓的離心率為，則有以下性質：
圖1性質1 .
證明：在中，由餘弦定理，有
整理，得
例1 如圖2：、分別為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，是面積為1的正三角形，求的值．
圖2分析：此題按常規思路是從入手，即，求得所以點的座標分別為，.由於點在橢圓上，有
解此方程組就可得到的值．但這涉及到解二元二次方程組，計算量很大，非常麻煩.若用性質1求解可使運算得以簡化．
解：連線則， 有
性質2證明：由性質1得
例2 已知、是橢圓的兩個焦點，是橢圓上任一點，且，求的面積．
分析：如果設點的座標為，由點在已知橢圓上且，利用這兩個條件，列出關於,的兩個方程，解出,．再求的面積，這種方法，運算量大且過程繁雜，須另尋捷徑．知道，可以直接利用性質2求解，使運算量簡化.
解：例3已知點是橢圓上任一點，且.求證：.
證明：例4 點是橢圓上一點，以點以及焦點、為頂點的三角形的面積等於1，求點的座標．
分析：要求點的座標，不妨設點座標為，由點在已知橢圓上和的面積等於1，可列兩個方程，解方程可得點的座標．此題也可在例3的基礎上進行求解．
解：設點座標為,則有
把代入得
性質3 .
證明：由正弦定理，有
即.因為，所以 .
當點p在長軸上的端點時，，這時，不存在，因此，.
性質4 離心率
證明：由正弦定理，有
例5 （2023年福建高考題）已知、是橢圓的兩個焦點，過且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓於、兩點，若是正三角形，求這個橢圓的離心率.
分析：由是正三角形可知，根據橢圓的第一定義可求得.再由可求得離心率e.若用性質4解題，求解更簡便．
解：根據已知條件有（如圖3）
圖3性質5 .
證明：由正弦定理，有
.例6 如圖4，是橢圓上一點，、是焦點，已知求橢圓的離心率．
圖4分析：知道我們可以直接利用性質5解題．
解：由性質5有
化簡，得
以上五個橢圓焦點三角形的性質是高考考查的重點也是難點，值得我們去重視這部分內容的教學，而雙曲線的焦點三角形性質可以模擬橢圓的去學習。
橢圓焦點三角形證明
橢圓上一點p處的切線平分焦點三角形外角的證明 證法1 設.對橢圓方程兩邊求導得，又，由到角公式知 同理.又，證法2 設，如圖1，過 作切線pt的垂線，垂足分別為m n.切線pt的方程為，則點 到pt的距離為，又 兩種證法都是由匯出，如圖，設pd為法線 即pd切線pt 則pd平分，故得如下重要定理.定...
焦點三角形的性質 經典 必看
橢圓中焦點三角形的性質及應用 定義 橢圓上任意一點與兩焦點所構成的三角形稱為焦點三角形。與焦點三角形的有關問題有意地考查了定義 三角形中的的正 餘 弦定理 內角和定理 面積公式等.一 焦點三角形的形狀判定及周長 面積計算 例1 橢圓上一點到焦點的距離之差為2，試判斷的形狀.解 由橢圓定義 又，故滿足...
三角形垂心的性質總結
山西省原平市第一中學任所懷 三角形的垂心定理 在三角形abc中，求證 它的三條高交於一點。證明 如圖 作be於點e，cf ab於點f，且be交cf於點h，連線ah並延長交bc於點d。現在我們只要證明ad bc即可。因為cf ab，be 所以四邊形bfec為圓內接四邊形。四邊形afhe為圓內接四邊形。...