一、課程說明
1、 課程性質
本課程是數學與應用數學專業的專業基礎核心課程，是從初等數學到高等數學過渡的橋梁，是學生學習數學與應用數學專業其它後繼課程的重要基礎。 掌握這門課程的基本理論和基本方法，對於學習本專業基礎課和專業課以及進一步學習、研究和應用都是至關重要。數學分析以極限為基本思想和基本運算研究實變實值函式。
主要研究微分和積分兩種特殊的極限運算,利用這兩種運算從微觀和巨集觀兩個方面研究函式, 並依據這些運算引進並研究一些非初等函式。數學分析基本上是連續函式的微積分理論。
2、 教學目的與要求和要求
數學分析是數學與應用數學專業的一門主幹基礎課和必修課，本課程的目的是為後繼課程提供必要的知識，同時通過本課程的教學，鍛鍊和提高學生的思維能力，培養學生掌握分析問題和解決問題的思想方法。本課程不僅對許多後繼課程的學習有直接影響，而且對學生基本功的訓練與良好素質的培養起著十分重要的作用。
本課程學習經典數學分析的基本知識，包括極限論、一元微積分學、級數論和多元微積分等基本內容，並用"連續量的演算體系及其數學理論"的觀點統率整個體系。在教學上要求學生能掌握四個基本方面，即基本概念、基本理論、基本方法和基本技巧。在教學基本要求上分為三個檔次，即牢固掌握、一般掌握和一般了解。
牢固掌握：基本概念明確，能聯絡幾何與物理的直觀背景，並能從正反兩方面進行理解（極限論、一元微積分學和級數論的概念按此要求）；基本理論較紮實，具有較好的推理論證和分析問題的能力（極限論、一元微積分學和級數論的理論一般按此要求，但實數理論和定積分可積性理論除外）；基本方法較熟練，具備較好的運算和解決應用問題的能力，並能較靈活地運用基本技巧（本課程的一般方法和技巧按此要求，但含參變數積分的方法和技巧除外）。
一般掌握：對基本概念一般只要求能從正面理解（廣義積分和多元微積分學的概念按此要求）；對基本理論一般要求能應用和了解如何證明（實數理論、定積分可積性理論和多元微積分學的理論按此要求）；對基本方法一般要求能掌握運用，但不要求很熟練和技巧性（含參變數積分的方法按此要求）。
一般了解：對基本理論只要求能應用，不要求掌握證明方法（隱函式存在定理、重積分一般變數替換公式和富里埃級數收斂性理論按此要求）；對基本方法一般要求會做，不要求靈活技巧（如果講授本大綱中的選講內容，則按此要求）。
3、 先修課程和後繼課程
先修課程：初等數學，包括：代數，三角，立體幾何，平面解析幾何。
後繼課程：常微分方程，復變函式，實變函式，泛函分析。
4、 教課時數分配
5、 使用教材
《數學分析》第四版上、下冊，華東師範大學數學系主編，高等教育出版社，2023年6月。
6、 教學方法與手段
本課程以黑板講授、學生自學、精講精練相結合的教學方法為主，個別章節輔之以多**教學手段或數學實驗手段。
在教學過程中，應當積極開展對教學要點與知識點與課程體系、教學方法與教學手段的改革，認真總結經驗，並將教學改革的成果逐步吸收到教學中來，不斷提高教學質量。要不斷更新教學要點與知識點，逐步實現教學要點與知識點的現代化；要加強不同數學分支間的相互結合和相互滲透，進行課程和內容的重組；要突出數學思想方法的教學，加強數學應用能力的培養，注重運算技巧的訓練；要尊重個性，發揮特長，探索現階段因材施教的新方法、新模式；要不斷探索以學生為主體有利於調動學生自主學習積極性的啟發式、討論式、研究式的教學方法；要積極採用現代教育技術手段，使傳統的教學手段與現代教學手段相互結合，取長補短。
7、 考核方式
本課程採用閉卷考試形式。
8、 主要參考書目
《數學分析講義》(第四版)，劉玉璉主編，高等教育出版社，2023年。
二、課程內容
第一章實數集與函式（14課時）
第一節實數（2課時）
1、教學目的與要求：掌握實數的基本概念和最常見的不等式，以備以後各章應用．
2、教學要點與知識點：實數的基本性質和絕對值的不等式,實數的有序性，稠密性，阿基公尺德性．實數的四則運算．
3、教學重點與難點：用無限小數統一表示實數的意義及引入不足近似值與過剩近似值的作用．
第二節數集.確界原理（2課時）
1、教學目的與要求：
(1) 基本要求：掌握實數的區間與鄰域概念；分清最大值與上確界的聯絡與區別；結合具體集合，能指出其確界；能用一種方式，證明集合的上確界為 ．即：
且 ；或且 ．
(2) 較高要求：掌握確界原理的證明，並用確界原理認識實數的完備性．掌握實數的區間與鄰域概念，掌握集合的有界性和確界概念．
2、教學要點與知識點：
實數的區間與鄰域；集合的上下界，上確界和下確界；確界原理．
3、教學重點與難點：
(1) 此節重點是確界概念和確界原理．不可強行要求一步到位，對多數學生可只布置證明具體集合的確界的習題．
(2) 此節難點亦是確界概念和確界原理．對較好學生可布置證明抽象集合的確界的習題．
第三節函式概念（2課時）
1、教學目的與要求：
(1) 基本要求：掌握函式的定義與表示法；理解復合函式與反函式；懂得初等函式的定義，認識狄利克萊函式和黎曼函式．
(2) 較高要求：函式是一種關係或對映的進一步的認識．掌握函式概念和不同的表示方法．
2、學要點與知識點：函式的定義與表示法；復合函式與反函式；初等函式．
3、 教學重點與難點：通過狄利克萊函式和黎曼函式，使學生對函式的認識從具體上公升到抽象．
第四節具有某些特性的函式（4課時）
1、教學目的與要求：掌握函式的有界性，單調性，奇偶性和週期性．
2、教學要點與知識點：有界函式，單調函式，奇函式，偶函式和週期函式．
3、 教學重點與難點：
(1) 本節的重點是通過對函式的有界性的分析，培養學生了解研究抽象函式性質的方法．
(2) 本節的難點是要求用分析的方法定義函式的無界性．對較好學生可初步教會他們用分析語言表述否命題的方法．
第二章數列極限（12課時）
第一節數列極限概念（4課時）
1、教學目的與要求：
(1) 基本要求：理解數列極限的分析定義，學會證明數列極限的基本方法，懂得數列極限的分析定義中與的關係．
(2) 較高要求：學會若干種用數列極限的分析定義證明極限的特殊技巧．掌握數列極限概念。
2、學要點與知識點：數列極限．
3、教學重點與難點：
(1) 本節的重點是數列極限的分析定義，要強調這一定義在分析中的重要性．具體教學中先教會他們證明 ； ；( ，然後教會他們用這些無窮小量來控制有關的變數（適當放大但仍小於這些無窮小量）．
(2) 本節的難點仍是數列極限的分析定義．對較好學生可要求他們用數列極限的分析定義證明較複雜的數列極限，還可要求他們深入理解數列極限的分析定義．
第二節數列極限的性質（2課時）
1、教學目的與要求：
(1) 基本要求：理解數列極限的唯一性，有界性，保號性，保不等式性，迫斂性，四則運算法則，並會用其中某些性質計算具體的數列的極限．
(2) 較高要求：掌握這些性質的較難的證明方法，以及證明抽象形式的數列極限的方法．掌握數列極限的主要性質，學會利用數列極限的性質求數列的極限．
2、學要點與知識點：數列極限的唯一性，有界性，保號性，保不等式性，迫斂性，四則運算法則和數列的子列及有關子列的定理．
3、 教學重點與難點：
(1) 本節的重點是數列極限的性質的證明與運用．可對多數學生重點講解其中幾個性質的證明，多布置利用這些性質求具體數列極限的習題．
(2) 本節的難點是數列極限性質的分析證明．對較好的學生，要求能夠掌握這些性質的證明方法，並且會用這些性質計算較複雜的數列極限，例如： ．
第三節數列極限存在的條件（4課時）
1、教學目的與要求：
(1) 基本要求：掌握單調有界定理的證明，會用單調有界定理證明數列極限的存在性，其中包括存在的證明．理解柯西收斂準則的直觀意義．
(2) 較高要求：會用單調有界定理證明數列極限的存在性，會用柯西收斂準則判別抽象數列（極限）的斂散性．
2、教學要點與知識點：單調有界定理，柯西收斂準則．
3、教學重點與難點：
（1) 本節的重點是數列單調有界定理．對多數學生要求會用單調有界定理證明數列極限的存在性．
(2)本節的難點是柯西收斂準則．要求較好學生能夠用柯西收斂準則判別數列的斂散性．
第三章函式極限（16課時）
第一節函式極限概念（2課時）
1、教學目的與要求：掌握當時函式極限的分析定義，並且會用函式極限的分析定義證明和計算較簡單的函式極限．掌握各種函式極限的分析定義，能夠用分析定義證明和計算函式的極限．
2、 學要點與知識點：各種函式極限的分析定義．
3、教學重點與難點：本節的重點是各種函式極限的分析定義．對多數學生要求主要掌握當時函式極限的分析定義，並用函式極限的分析定義求函式的極限．
第二節函式極限的性質（2課時）
1、教學目的與要求：
(1) 基本要求：掌握函式極限的唯一性，有界性，保號性，保不等式性，迫斂性，四則運算法則，並會用這些性質計算函式的極限．
(2) 較高要求：理解函式極限的區域性性質，並對這些區域性性質作進一步的理論性的認識．掌握函式極限的性質．
2、教學要點與知識點：函式極限的唯一性，有界性，保號性，保不等式性，迫斂性，四則運算法則．
3、 教學重點與難點：
（1）本節的重點是函式極限的各種性質．由於這些性質類似於數列極限中相應的性質，可著重強調其中某些性質與數列極限的相應性質的區別和聯絡．
（2）本節的難點是函式極限的區域性性質．對較好學生，要求懂得這些區域性的 （的大小）不僅與有關，而且與點有關，為以後講解函式的一致連續性作準備．
第三節函式極限存在的條件（2課時）
1、教學目的與要求：
(1) 基本要求：掌握函式極限的歸結，理解函式極限的柯西準則．
(2) 較高要求：能夠寫出各種函式極限的歸結原理和柯西準則．
(3) 函式極限的歸結原理和函式極限的單調有界定理，理解函式極限的柯西準則
1、教學要點與知識點：函式極限的歸結；函式極限的單調有界定理；函式極限的柯西準則．
2、教學重點與難點：
(1) 本節的重點是函式極限的歸結原理．要著重強調歸結原理中數列的任意性．
(2) 本節的難點是函式極限的柯西準則．要求較好學生能夠熟練地寫出和運用各種函式極限的歸結原理和柯西準則．
第四節兩個重要的極限（3課時）
1、教學目的與要求：
(1) 基本要求：掌握的證明方法，利用兩個重要極限計算函式極限與數列極限．
(2) 較高要求：掌握證明方法．掌握兩個重要極限： ； ．
2、 學要點與知識點：兩個重要極限： ； ．
數學分析報告
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