如何學好數學分析

劉軾波數學分析是數學系最重要的課程。許多後續課程都以它為基礎，例如常微分方程、偏微分方程、復變函式、實變函式，以及泛函分析。這些都屬於分析數學的範疇。

此外，作為幾何學一分支的拓撲學，主要研究拓撲空間在連續對映下不變的性質，而連續對映是數學分析中研究的連續函式的推廣。而當今數學研究中最重要的部門——微分幾何，乃是在微積分對幾何學的應用過程中發展起來的，因此也離不開數學分析的理論和方法。所以，要順利完成數學系本科階段的學習，學好數學分析非常重要。

說得更長遠一點，任何有志於從事數學研究的青年學子，好好掌握數學分析的理論和方法是關鍵的第一步。

要學好數學分析是沒有捷徑可走的。對其他課程，也是如此。如果真有這樣的捷徑，老師在上課時早就告訴大家了。

這樣的話，是否不必管太多，只管硬下功夫就可以了呢? 如果只是蠻幹，是不會有好的結果的，而且會很累。我見過不少同學，書都讀破了，書頁上也寫滿了筆記或是在讀書過程中的心得，看來還是很用功的。

但是他跑來問我的問題卻很簡單，有些甚至在書上就有明白的解釋。我把書翻給他看，他才恍然大悟。我想，這是由於他雖然花了很多時間，但卻沒有認真對以下要提到的幾個方面進行思考。

所以他對基本內容沒有很深的印象。

下面我想就數學分析的學習，談談我的看法。一談到數學的學習，很多人想到的就是要多做習題。但是，我認為最重要的還是要先仔細研讀教科書，搞清楚每個定義和定理。

在這個基礎上適當做些習題才會事半功倍。沒有弄清基本的概念，對學過的定理也沒有吃透，就急急忙忙去做習題，必然會碰到很多困難，甚至會喪失自信心。這是一種不可取的學習方法。

首先，要徹底弄清楚接觸到的每個定義。數學上的定義，都是從許多具體的事例中抽象出來的。這些定義雖然是具體事例的抽象，但卻又是很自然的。

我們在學習中要多思考，並且通過具體的例子來掌握各個定義的內涵。數學的定義中往往有各種各樣的條件。對這些條件要仔細揣摩，體會它們的作用。

有時還需要通過正反兩方面的例子來辨析不同的概念。只有這樣才能真正掌握，並能在推理中做到靈活運用。

其次，每學習乙個定理時，就要從內涵上弄清這個定理的含義，即它到底說了什麼事情。這往往可以結合幾何直觀來把握。然後就是研究定理中要求的條件。

這可以通過研究定理的證明了解這些條件的作用，還可以通過反例來弄清當某個條件不成立時，結論為何不對。通過這樣正反面的思考，就會對這個定理有比較好的理解。我見到很多數學系的學生，在解題時說「因為f是閉集f上的連續函式，所以f有界」。

之所以犯這樣的錯誤，就是因為沒有很好地掌握「有界閉集上的連續函式必有界」這個定理。

再者，定理的證明也值得我們好好研究。通過研讀定理的證明，可以加深我們對這個定理的理解。而且，在定理的證明過程中我們還可以學習到本學科的各種基本的論證方法。

熟悉這些方法之後，我們就自然能夠把它們應用到我們面臨的問題中去。有些定理的證明是很漂亮的，充分展現了數學的美。我們在學習過程中還要好好體會這種美，這對提高我們的數學素養不無益處。

當然，有些定理的證明比較繁難，為了不打擊自信心，我們可以先跳過它，等過後有機會再回來研究它。事實上，有些定理本身很重要，但它的證明卻未必非常重要。關於這一點，大家可以去看伍洪熙先生在北京大學出版社出版的《黎曼幾何初步》前面的「致讀者的話」第iv頁關於弧長的二次變分公式的敘述。

這整篇「致讀者的話」對學數學的人都是很有啟發性的。

另外，學了乙個定理後，乙個很重要的方面就是如何把它應用到各種問題中去。這甚至比定理本身的證明更為重要。設想，如果你由乙個定理推出一些有趣的結論，那你一定會覺得這個定理妙不可言。

數學分析中的許多定理都有很直觀的幾何意義。許多證明題，如果從幾何直觀上看就很好理解。這樣的幾何直觀往往會啟發我們發現解題的思路。

我們還可以從全域性的角度來看我們學過的定理，看它和數學分析中的其它定理有什麼聯絡。比方說為什麼需要這個定理? 想象一下，如果沒有閉區間上連續函式的性質的各個定理，整個數學分析的理論會是什麼樣子。

把各個定義、定理聯絡起來，在我們的頭腦中形成乙個有機的網路，我們在解決問題時才能更靈活地運用所掌握的知識。

在牢固地掌握了各個定義和定理後。一定要做一些習題，以加深理解。好的教科書每節後面的習題都是對本節所學知識的運用。

做這些習題有助於更好地掌握該節的內容。做習題的過程也是對自己的一種訓練，這是做習題的另乙個目的。正如長期的體育鍛煉會使身體逐漸強壯一樣，堅持做習題，分析問題和解決問題的能力就會逐漸提高。

數學分析的習題，靈活性比較強。我們常常有面對乙個問題卻束手無策的經歷。這是很正常的現象，千萬不要失去信心。

這是由於我們的閱歷比較少的原因。現在出版了不少解題指南之類的參考書。這些書上有很多很典型的例題，有些是很有啟發性的。

大家可以根據自身情況選讀一些。不過，每道好的習題都是非常珍貴的。如果遇到題目，沒有經過深入的思考就急於去看答案，那麼你雖然也知道這道題乃至這類題的解法，但卻失去了一次獨立思考的機會。

如果沒有試做參考書中的例題，就一定要選做它裡面的一些習題。

最後，數學分析的內容非常豐富，它跟後續的許多課程有著密切的聯絡。我們在後續課程的學習中，有時還應該回來看看數學分析中的有關內容，釐清它們之間的聯絡。這對更好地掌握數學分析，以及後續課程的學習，都有好處。