雲南大學
數學分析習作課（3）**
題目：應用導數來研究函式的一些性質，由此引入相關定理（費馬定理，拉格朗日中值定理，羅爾定理，柯西定理
學院： 數學與統計學院
專業： 數學與應用數學
姓名、學號： 馬磊 20111910076
任課教師黃輝老師
時間2023年12月2日
摘要需對以下定理（費馬定理，拉格朗日中值定理，羅爾定理，柯西定理）做關於內容，證明的相關介紹，然後利用這些定理來研究一些函式的的性質。
關鍵詞：費馬定理；拉格朗日中值定理；羅爾定理；泰勒公式；內容，證明，應用
一、費馬定理的內容及其證明過程
（一）費馬定理的內容和證明
內容；若函式在點的某一領域內有定義，並且在此領域內恒有或者，函式在點可導，則有
證明：我們對的情形給出證明，由於假設存在，按定義，也就是另一方面，由於，所以對內的各點，有；而對內的各點，有。再由極限的性質得， 。而是乙個常數，因此它必須等於零，即。
對於的情況，也可相仿證明。
它的幾何意義：如果曲線在點具有極大值，或者在點具有極小值，並且曲線在點具有切線，那麼，費馬定理就表明了切線必為水平的。
注： 若為區間的端點，那麼費馬定理的結論未必成立。
例題說明：函式
證明：，有，按照費馬定理， ，但是，因此費馬定理在討論函式區間的端點時候未必成立
(二)拉格朗日中值定理，羅爾定理的內容和證明
1．若函式滿足（1）在區間連續；（2）在可導，則在內至少存在一點，使
2.羅爾定理： 若函式滿足（1）在區間連續；（2）在可導，（3），在內存在一點，使得
證明羅爾定理：不妨假設在區間上不恒為常數，
由於在區間上連續，由閉區間連續函式的性質 ，必在上達到最大值m和最小值m,分兩種情形來討論。（1）考慮情形， 。由於不恒為零，所以必有m>m，且m和m中至少有乙個不等於（即，這是根據閉區間上連續函式的性質，在內至少有一點，使得（或使），於是對內任一點，必有（或），於是由費馬定理，即得。
這是拉格朗日中值定理中的特殊情況。
2）考慮情形，。根據函式，做輔助函式，不妨設此函式為，函式在區間上連續，在區間上可導，且 ，
因此有，再根據羅爾定理，在上有一點，使得，即，經過變換，所以成立。
對情況（2）的討論還可構造其他輔助函式，例如：
拉格朗日中值定理的其它形式：
拉格朗日中值定理的幾何意義：畫出在區間上的一條曲線，連線兩端點a，b，它的斜率是，如果在區間內可導，也就是曲線上的每一點都可以做一條切線，那麼這個定理也就是說在曲線上至少存在有一點p,使得過p點的切線與弦ab平行，即兩者的斜率是，故
成立。2．區分拉格朗日中值定理和羅爾定理
羅爾定理是拉格朗日中值定理的充分不必要條件。
說明：羅爾定理只是的特殊情況，而拉格朗日中值定理是一般情況。
注意：如果定理的條件不全滿足，則其結論就不一定成立。
例：函式在區間上連續，但在上不可導，容易知道在區間上不存在這樣的，使成立，
（三）柯西定理的內容和證明
若和再區間上連續，在開區間內可導，並且，則在上至少存在一點，使
證明：因為，根據拉格朗日中值定理，所以在區間上不會存在的情況
接著我們做一輔助函式，並設此函式為，函式在區間上連續，在區間上可導，和，所以有，此函式滿足羅爾定理的條件，所以在區間上至少存在一點使得，，即，在經過變形可得，以上對柯西定理進行證明
柯西定理的特例：當時，即，此時柯西定理也就是拉格朗日中值定理。
例題：設在區間上連續，在上可導，且有
求證：，使得
分析：只要找到上的一子區間，在這個區間上曲線所對的弦的斜率為1，然後在這個區間上用拉格朗日中值定理即可證明，這個區間為輔助區間，注意到這樣的弦該在直線上，所以考慮直線與是否有交點，也就是說，輔助區間構造的成功與否歸結為函式的零點也存在問題。
證明：令，則
，，使得，即
因為在上連續，在內可導，所以在上用拉格朗日中值定理，則
，使得。
例題：設在上連續，在上可導
求證：對於，，使得
證：令，則，且
由此推出
下面分兩種情況討論：
第一種情況，，根據羅爾定理，有，使得，即。從而本題得證。第二種情況
第二種情況，，則與異號，於是根據連續函式的中值定理， ，使得。現在對在區間上用羅爾定理，我們有使得， 即得，從而本題得證。
例題：設函式在區間上連續，在開區間內二階可導，並且曲線和連線點與的直線段在內相交，
求證：，使得
分析：所給命題的結論是二階導函式的零點存在性問題，顯然不能直接用羅爾定理來推論，但是可以理解為，即可轉化為導函式的導函式零點問題。這啟發我們能否將問題轉化為在某一輔助區間上滿足羅爾定理條件，於是問題轉化為尋找兩點，，使得，只要做出問題的大致結構，在區間上和上分別應用拉格朗日中值定理即可，得到這樣的，，在區間便是我們要構造的輔助區間。
證明：設是曲線與弦交點的橫座標，根據拉格朗日中值定理，有：
，使得，使得由此推出，又因為在上連續，在上可導，所以
對在上應用羅爾定理，可知
，使得。
例題：設函式在上可導，且，
求證：，使得。
分析：將改寫成注意到：，使得
在區間內有零點
在區間內有零點
在區間內有零點。
到此我們找到了原函式，但是x=a處沒有定義，因此考慮輔助函式,當，，當，顯然在上連續，在內可導。進一步，對，我們有，由此可見，為了證明本題，只要證明，使得。但是，輔助函式雖然有的性質，可是對於不一定為零，因此不能直接應用羅爾定理來解決，要分情況考慮。
證明：分兩種情況：
第一種情況， 。根據羅爾定理，，使得，從而本題得證。
第二種情況：，不妨設，那麼公式有。因為連續且，所以，使得
於是連續函式的中值定理，，使得。現在對在區間上應用羅爾定理，我們有，使得，本題得證。對於的情況，可類似證明。
本題的的幾何意義：如果曲線在點處和在點處的切線都平行於x軸，那麼在內至少存在乙個中間的c，使得在點x=c處的切線通過點。
例題：設a,b,c為實數，求證：方程的根不超過三個。
證明：用反證法
假設方程有四個不同的根，那麼函式有四個不同的零點，應用羅爾定理肯定：函式有三個不同的零點;函式有兩個不同的零點；函式有乙個零點;然而已知函式無零點，這便產生矛盾，這矛盾說明反證法假設不成立，即方程至多只有三個根。
例題：設函式在區間上連續，在區間上可導，，且不恒為常數。
求證：存在，使得。
證明：用反證法，若都有，則在區間內單調下降因此
即，與不恒為常數矛盾，從而存在，使得
例題：設在上連續，在上可導，，
求證：如果在上不恆等於零，則，使得
證明：用反證法證明，如果不存在，使得，即對有在內單調下降
又因為，故有
又因為在上連續，進一步有
於是，與在區間上不恆等於零矛盾。
例題：設，在區間上連續，在內可導，且，，。
求證：，使得
分析：注意到成立，使得
在區間內有零點
在區間內有零點
可見應作輔助函式，並令此函式為
證明：因為，在區間上連續，在區間上可導，且
所以在區間上連續，在區間上可導，且
根據羅爾定理有，，使得
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