數學分析課程簡介

一、數學分析(mathematical analysis)簡介

1.背景: 從切線、面積、計算、實數定義等問題引入.

2.極限 —— 變數數學的基本運算

3.數學分析的基本內容：數學分析以極限為基本思想和基本運算研究變實值函式.

主要研究微分(differential)和積分(integration)兩種特殊的極限運算,利用這兩種運算從微觀和巨集觀兩個方面研究函式, 並依據這些運算引進並研究一些非初等函式. 數學分析基本上是連續函式的微積分理論.

微積運算是高等數學的基本運算.

數學分析與微積分(calculus)的區別

二、數學分析的形成過程

1.孕育於古希臘時期：在我國，很早就有極限思想. 紀元前三世紀, archimedes就有了積分思想.

2.十七世紀以前是乙個漫長的醞釀時期,是微積分思想的發展、成果的積累時期.

3.十七世紀下半葉到十九世紀上半葉 —— 微積分的建立時期.

4.十九世紀上半葉到二十世紀上半葉 —— 分析學理論的完善和重建時期：

三、數學分析課的特點

邏輯性很強, 很細緻, 很深刻; 先難後易, 是說開頭四章有一定的難度, 倘能努力學懂前四章(或前四章的80%), 後面的學習就會容易一些; 只要在課堂上專心聽講, 一般是可以聽得懂的, 但即便能聽懂, 習題還是難以順利完成. 這是因為數學分析技巧性很強, 只了解基本的理論和方法, 不輔以相應的技巧, 是很難順利應用理論和方法的. 論證訓練是數學分析課基本的,也是重要的內容之一, 也是最難的內容之一.

一般懂得了證明後, 能把證明準確、嚴密、簡練地用數學的語言和符號書寫出來，似乎是更難的一件事. 因此, 理解證明的思維方式, 學習基本的證明方法, 掌握敘述和書寫證明的一般語言和格式, 是數學分析教學貫穿始終的一項任務.

有鑑於此, 建議的學習方法是: 預習, 課堂上認真聽講, 必須記筆記, 但要注意以聽為主, 力爭在課堂上能聽懂

七、八成. 課後不要急於完成作業, 先認真整理筆記, 補充課堂講授中太簡或跳過的推導, 閱讀教科書, 學習證明或推導的敘述和書寫. 基本掌握了課堂教學內容後, 再去做作業.

在學習中, 要養成多想問題的習慣.

四、課堂講授方法:

1.關於教材及參考書:這是大學與中學教學不同的地方, 本課程主要從以下教科書中取材:

[1]華東師範大學數學系編，數學分析，高等教育出版社，2001；

[2]劉玉璉傅沛仁編，數學分析講義，高等教育出版社，1992；

[3]謝惠民，惲自求等數學分析習題課講義，高等教育出版社，2003；

[4]馬振民，數學分析的方法與技巧選講，蘭州大學出版社，1999；

[5]林源渠，方企勤數學分析解題指南，北京大學出版社，2003.

2.本課程按[1]的邏輯順序並在其中取材.本課程為適應教學改革的要求，只介紹數學分析最基本的內容，並加強實踐環節，注重學生的創新能力的培養。

帶星號的內容略講或刪去，相應的內容作為選修課將在數學分析選講課開設.

3.內容多,課時緊: 大學課堂教學與中學不同的是, 這裡每次課介紹的內容很多, 因此, 內容重複的次數少, 講課只注重思想性與基本思路, 具體內容或推導, 特別是同型別或較簡的推理論證及推導計算, 可能講得很簡, 留給課後的學習任務一般很重.

4.講解的重點: 概念的意義與理解,幾何直觀,理論的體系,定理的意義、條件、結論.

定理證明的分析與思路,具有代表性的證明方法,解題的方法與技巧. 某些精細概念之間的本質差別.

五.要求、輔導及考試

1.學習方法:盡快適應大學的學習方法, 盡快進入角色.

課堂上以聽為主, 但要做課堂筆記.課後一定要認真複習消化, 補充筆記.一般課堂教學與課外複習的時間比例應為 :

3。對將來從事數學教學工作的師範大學本科生來說, 課堂聽講的內容應該更為豐富: 要認真評價教師的課堂教學, 把教師在課堂上的成功與失敗變為自己的經驗. 這對未來的教學工作是很有用的.

2.作業: 作業以練習題中劃線以上的部分習題為主要內容.

大體上每週收一次作業, 一次收清. 每次重點檢查作業總數的三分之一. 作業的收交和完成情況有乙個較詳細的登記, 缺交作業將直接影響學期總評成績.

作業要按數學排版格式書寫工整.

3. 輔導: 大體每週一次, 第一學期要求輔導時不缺席.

4. 考試: 按教學大綱的要求, 只以最基本的內容進行考試, 大體上考課堂教學和所布置作業的內容, 包括[1]中的典型例題. 考試題為標準化試題，理論證明題逐漸增多.

第一章實數集與函式

【教學目的】

1.使學生掌握實數的概念，建立起實數集確界的清晰概念；

2.使學生深刻理解函式的概念，熟悉與函式性態有關的一些常見術語。

要求學生：理解並熟練運用實數的有序性、稠密性與封閉性；掌握鄰域的概念；牢記並熟練運用實數絕對值的有關性質以及幾個常見的不等式；理解實數確界的定義及確界原理，並在有關命題證明中正確地加以應用；深刻理解函式的定義以及復合函式、反函式、有界函式、單調函式和初等函式的定義，熟悉函式的各種表示方法；牢記基本初等函式的定義、性質及其圖象，會求函式的定義域，會分析函式的復合關係。

【教學重點】函式、確界的概念及其有關性質。

【教學時數】10學時

§1 實數

【教學目的】使學生掌握實數的基本性質．

【教學重點】

1. 理解並熟練運用實數的有序性、稠密性和封閉性；

2. 牢記並熟練運用實數絕對值的有關性質以及幾個常見的不等式．

【教學難點】實數集的概念及其應用．

【教學方法】講授（部分內容自學）

【教學時數】2學時

一．實數的性質

1.實數集r ：回顧中學中關於實數集的定義;

2.四則運算封閉性;

3.三歧性( 即有序性 );

4.阿基公尺德(archimedes)性:

5.稠密性: 有理數和無理數的稠密性, 給出稠密性的定義;

6.實數集的幾何表示 ─── 數軸;

7.兩實數相等的充要條件: ;

8.區間和鄰域.

二. 絕對值與不等式

1. 絕對值不等式: 定義 [1]p3 的六個不等式.

2. 其他不等式:

均值不等式: 對記

算術平均值)

幾何平均值)

調和平均值)

有平均值不等式:

等號當且僅當時成立.

⑶ bernoulli 不等式(在中學已用數學歸納法證明過)：有不等式當且 , 且時, 有嚴格不等式

證：由且

利用二項展開式得到的不等式: 對由二項展開式

有上式右端任何一項.

作業§2 數集確界原理

【教學目的】使學生掌握確界原理，建立起實數確界的清晰概念。

【教學要求】

1. 掌握鄰域的概念；

2. 理解實數確界的定義及確界原理，並在有關命題的證明中正確地加以運用。

【教學重點】確界的概念及其有關性質（確界原理）

【教學難點】確界的定義及其應用

【教學方法】講授為主

【教學時數】4學時

一、區間與鄰域

1.開區間:;

2.閉區間:;

3.半開半閉區間:;

4.無限區間:;

5.點的鄰域:;

6.點的空心鄰域:;

7.點的右鄰域:;

8.點的右鄰域:;

9.的鄰域:,其中是充分的正數;

10.的鄰域:,其中是充分的正數.

二、有界數集與確界原理:

1.有界數集: 定義(上、下有界, 有界)，閉區間、開區間為有限數）、鄰域等都是有界數集，集合也是有界數集.

無界數集: 定義, 等都是無界數集, 集合也是無界數集.

2.確界:給出直觀和刻畫兩種定義.

例1 ⑴ 則

則例2 非空有界數集的上（或下）確界是唯一的.

例3 設和是非空數集，且有則有.

例4 設和是非空數集. 若對和都有則有

證是的上界, 是的下界,

例5 和為非空數集, 試證明:

證有或由和分別是和的下界,有或即是數集的下界, 又的下界就是的下界, 是的下界, 是的下界, 同理有於是有.綜上,有.

3. 數集與確界的關係: 確界不一定屬於原集合. 以例1⑵為例做解釋.

4.確界與最值的關係: 設為數集.

⑴ 的最值必屬於, 但確界未必,確界是一種臨界點.

⑵ 非空有界數集必有確界(見下面的確界原理), 但未必有最值.

⑶ 若存在, 必有對下確界有類似的結論.

三、確界原理

th1.1 (確界原理)

設為非空數集。若有上界，則必有上確界；若有下界，則必有下確界。

作業：ｐ９：５；６；８

§3 函式概念

【教學目的】使學生深刻理解函式概念

【教學要求】

1. 深刻理解函式的定義以及復合函式、反函式和初等函式的定義，熟悉函式的各種表示方法；

2. 牢記基本初等函式的定義、性質及其圖象;會求初等函式的存在域，會分析初等函式的復合關係

【教學重點】函式的概念

【教學難點】初等函式復合關係的分析

【教學時數】2學時

一、函式

1. 函式定義注意[1]p10—11的四點說明

2. 定義域: 定義域和存在域

3. 函式的表示法

4. 反函式,一一對應,反函式存在定理

5. 函式的代數運算

二、分段函式

以函式和為例介紹概念.

例1 去掉絕對值符號.

例2 求

例3 設求 (答案為8)

三、函式的復合

例4 求並求

定義域.

例5 ⑴

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