2023年整理《數學分析》課程考試大綱

1、《數學分析》考試大綱

一、總要求

考生應按本大綱的要求，了解或理解數學分析中的函式、極限和連續、實數的基本理論、一元函式微分學、一元函式積分學、多元函式微積分學、無窮級數的基本概念與基本理論；學會、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應注意各部分知識的結構及知識的內在聯絡；應具備有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力、空間想象能力；能運用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明，準確地計算；能綜合運用所學知識分析並解決簡單的實際問題。

本大綱對內容的要求由低到高，對概念和理論分為「了解」和「理解」兩個層次；對方法和運用分為「會」、「掌握」、和「熟練掌握」三個層次。

二、教材

《數學分析》（上、下），華東師範大學數學系編（第三版），高等教育出版社

三、內容

一、函式、極限和連續

（1）函式

1．知識範圍

（1）函式的概念

函式的定義函式的表示法分段函式

（2）函式的簡單性質

單調性` 奇偶性有界性週期性

（3）反函式

反函式的定義反函式的影象

（4）函式的四則運算與復合運算

（5）基本初等函式

冪函式指數函式對數函式三角函式反三角函式

（6）初等函式

2．要求

（1）理解函式的概念。學會函式的定義域、表示式及函式值。會求分段函式的定義域、函式值，並會作出簡單的分段函式的影象

（2）理解和掌握函式的單調性、奇偶性、有界性、週期性，會判斷函式的型別。

（3）理解和掌握函式的四則運算與復合運算，熟練掌握復合函式的復合過程。

（4）掌握基本初等函式的簡單性質及影象

（5）掌握初等函式的概念

（6）會建立簡單實際問題的函式關係式

（二）極限

1．知識範圍

（1）數列極限的概念

數列、數列極限的ε-n定義

（2）數列極限的性質

唯一性，有界性，四則運算定理，夾逼定理，單調有界定理

（3）函式極限的概念

函式在一點處極限的定義，左、右極限及其與極限的關係，x趨於無窮時函式的極限，函式的幾何意義

（4）函式極限的定理

唯一性定理，夾逼定理，四則運算定理

（5）無窮小量和無窮大量

無窮小量與無窮大量的定義，無窮小量與無窮大量的關係，無窮小量與無窮大量的性質，兩個無窮小量的階的比較

（6）兩個重要的極限

2．要求

（1）理解極限的概念，能根據極限的概念分析函式的變化趨勢。會求函式在一點處的左、右極限，理解函式在一點處極限存在的充分必要條件

（2）理解極限的有關性質，掌握極限的四則運算法則

（3）理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質、無窮小量與無窮大量的關係。會進行無窮小量的階的比較。會運用等價無窮小量代換求極限。

（4）熟練掌握用兩個重要的極限求極限的方法

（三）連續

1．知識範圍

（1）函式連續的概念

函式在一點處連續的定義，左連續與右連續，函式在一點處連續的充分必要條件，函式的間斷點及其分類

（2）函式在一點處連續的性質

連續函式的四則運算，復合函式連續性，反函式的連續性

（3）閉區間上連續函式的性質

有界性定理，最大值與最小值定理，介值性定理

（4）初等函式的連續性

2．要求

（1）理解函式在一點連續與間斷的概念，掌握判斷函式在一點的連續性，理解函式在一點連續與極限存在的關係

（2）會求函式的間斷點及確定其型別

（3）掌握在閉區間上連續函式的性質，會運用介值定理推證一些簡單命題

（4）理解初等函式在其定義區間上的連續性，並會利用連續性求極限

二、一元函式微分學

（一）導數與微分

1．知識範圍

（1）導數的概念

導數的定義，左導數，右導數，導數的幾何意義與物理意義，可導與連續的關係

（2）求導法則與導數的基本公式

導數的四則運算，反函式的導數，導數的基本公式

（3）求導方法

復合函式的求導法，隱函式的求導法，對數求導法，由引數方程確定的函式的求導法，求分段函式的導數

（4）高階導數的概念

高階導數的定義及計算

（5）微分

微分的定義，微分與導數的關係，微分法則，一階微分形式的不變性

2．要求

（1）理解導數的概念及其幾何意義，可導性與連續性的關係，會運用定義求函式在一點處的導數

（2）會求曲線上一點處的切線方程與法線方程

（3）熟練掌握導數的基本公式、四則運算法則及復合函式和反函式求導方法

（4）掌握隱函式的求導法、對數求導法以及由引數方程確定的函式的求導方法，會求分段函式的導數

（5）理解高階導數的概念，會求簡單函式的n階導數

（6）理解函式和微分概念，掌握微分法則，掌握微分與可導的關係，會求一階微分

（二）中值定理及導數的應用

1．知識範圍

（1）中值定理

羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理

（2）洛必達法則

（3）函式增減性的判定法

（4）函式的極值與極值點最大值與最小值

（5）曲線的凹凸性、拐點

（6）曲線的漸近線

（7）泰勒公式

2．要求

（1）理解羅爾中值定理、格朗日中值定理、柯西中值定理它們的幾何意義，會用它們證明根的存在性和簡單的不等式，

（2）熟練掌握用洛必達法則求型未定式的極限的方法

（3）熟練掌握利用導數判定函式單調性及求函式單調增、減區間的方法，會用函式的單調性證明簡單不等式

（4）理解函式極值的概念。掌握求函式的極值和最值的方法，並會解簡單的應用問題

（5）會判斷曲線的凹凸性，會求曲線的拐點

（6）會作簡單函式的圖形

（7）理解函式的泰勒公式，泰勒公式的拉格朗日型餘項，掌握幾個基本初等函式的泰勒公式

三、一元函式積分學

（一）不定積分

1．知識範圍

（1）不定積分的概念

原函式與不定積分的定義原函式存在定理不定積分的性質

（2）基本積分公式

（3）換元積分法

第一換元法，第二換元法

（4）分部積分法

（5）一些簡單的有理函式和可化為有理函式的積分

2．要求

（1）理解原函式與不定積分的概念及其關係，掌握不定積分的性質，了解原函式存在性定理

（2）熟練掌握不定積分的基本公式

（3）熟練掌握不定積分的第一換元法，掌握第二換元法

（4）熟練掌握不定積分的分部積分法

（5）會求簡單有理函式的不定積分

（二）定積分

1．知識範圍

（1）定積分的概念

定積分的定義及幾何意義，可積的必要條件和充分條件可積函式類

（2）定積分的性質

（3）微積分學基本定理

（4）換元積分法與分部積分法

（5）泰勒公式的積分型餘項

（6）廣義積分的概念廣義積分的收斂性判別法

（7）定積分的應用

2．要求

（1）理解定積分的概念及其幾何意義，掌握定積分的積分和、上和、下和的概念，定積分可積的充分條件、必要條件和充要條件

（2）掌握定積分的基本性質

（3）掌握變上限定積分是變上限的函式，掌握對變上限定積分的求導方法

（4）掌握牛頓---萊布尼茨公式

（5）掌握定積分的換元積分法和分部積分法

（6）理解無窮限廣義積分和無界函式廣義積分的概念及幾何意義

（7）掌握非負函式廣義積分收斂性的比較判別法，了解阿貝爾和狄里克萊判別法

（8）掌握定積分在幾何計算平面圖形的面積、旋轉體的體積、曲線的弧長、旋轉曲面的面積、和物理上計算壓力、功、重心等簡單應用

四、實數完備性理論的知識

1．知識範圍

（1）實數完備性的基本定理

（2）閉區間上連續函式性質的證明

2．要求

（1）了解實數系的構造理論

（2）理解實數完備性定理的各個定理：區間套定理柯西收斂準則，有限覆蓋定理，聚點定理，確界原理，單調有界性定理和這些定理的等價性

（3）理解閉區間上連續函式性質的證明

（4）了解實數完備性定理在證明數學命題中的應用

五、多元函式微分學

（一）多元函式微分學

1．知識範圍

（1）多元函式

平面點集，上的完備性定理，多元函式的定義，二元函式的定義域，二元函式的幾何意義，二元函式極限，累次極限，二元函式的連續性概念，有界閉區域上連續函式的性質

（2）可微性，偏導數與全微分，偏導數，全微分的概念，可微性的幾何意義與應用

（3）復合函式的求導法則復合函式的全微分

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