第二十一章二次根式
21.1 二次根式
乙個正數有兩個平方根；0的平方根為0；在實數範圍內，負數沒有平方根。因此，開平方時，被開方數只能是正數和0。
一般地，我們把形如的式子叫做二次根式，「」成為二次根號。
二次根式是無理式。
：①表示a的算術平方根；②a可以是數，也可以是式；③形式上含有二次根號「」；④a≥0，≥0（雙重非負性）；⑤既可以表示開方運算，也可以表示運算結果。
求二次根式中字母的取值範圍（的基本依據）：
①被開方數不小於0；②分母中有字母時，要保證分母不等於0
當a＞0時，表示a的算術平方根，因此＞0；當a=0時，表示0的算術平方根，因此=0。這就是說：是乙個非負數。
一般地，
一般地，根據算術平方根的意義a（a≥0）
用基本運算符號（基本運算包括加、減、乘、除、乘方和開方）把數和表示數的字母連線起來的式子，叫做代數式。
21.1 二次根式的乘除
一般地，對二次根式的乘法規定
（算術平方根的積，等於各個被開方數積的算術平方根）
把反過來，就得到
（積的算術平方根，等於積中各因式的算是平方根的積。）
化簡：①分解因式；②化為因式平方的積；③開出來，化簡
一般地，對二次根式的除法規定
（兩個二次根式相除，等於把被開方數相除，作為商的被開方數）
把反過來，就得到
（商的算術平方根，等於被除式的算術平方**以除式的算術平方根。）
如果被開方數是帶分數，應先化為假分數。
分母有理化：把分母中的根號化去，使分母變成有理數，這個過程叫做分母有理化
化簡：先化簡分母，約分，有理化
最簡二次根式滿足的條件：
（1）被開方數不含分母（分母中不含有根號）
（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式
（滿足（1）被開方數不含分母（分母中不含有根號）（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式的二次根式叫做最簡二次根式）
在二次根式的運算中，一般要把最後結果化為最簡二次根式
21.2 二次根式的加減
二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式進行合併。
（加減法則：一化（化成最簡二次根式），二找（找同類二次根式），三合併）
同類二次根式：幾個被開方數相同的最簡二次根式
在二次根式的運算中，多項式乘法法則和乘法公式依然適用。
例第二十二章一元二次方程
22.1 一元二次方程
等號兩邊都是整式，只含有乙個未知數（一元），並且未知數的最高次數是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
（只含有乙個未知數，並且未知數的最高次數是1的整式方程叫做一元一次方程）
一般地，任何乙個關於x的一元二次方程，經過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0），這種形式叫做一元二次方程的一般形式。其中是二次項，a是二次項係數；bx是一次項，b是一次項係數；c是常數項。
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
22.2 降次——解一元二次方程
1.直接開平方法。
如果方程能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那麼可得x=±或mx+n=±
一般地，對於形如x2=a（a≥0）的方程，根據平方根的定義，可解得x1=，x2=－，這種解二次方程的方法，叫做開平方法。
（利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。直接開平方法適用於解形如的一元二次方程。根據平方根的定義可知，是b的平方根，當時，，，當b<0時，方程沒有實數根。
）22.2.1 配方法
通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法，可以看出，配方是為了降次，把乙個一元二次方程轉化成兩個一元一次方程來解。
方程的二次項係數不是1時，為便於配方，可以讓方程的各項除以二次項係數。
（配方法是一種重要的數學方法，它不僅在解一元二次方程上有所應用，而且在數學的其他領域也有著廣泛的應用。配方法的理論根據是完全平方公式， 把公式中的a看做未知數x，並用x代替，則有。）
22.2.2 公式法
一般地，式子b2－4ac叫做方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判別式，通常用希臘字母δ表示它，即δ=b2－4ac
由上可知，當δ＞0時，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個不等的實數根；當δ＝0時，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個相等的實數根；當δ＜0時，方程ax2+bx+c=0（a≠0）無實數根。
當δ≥0時，方程ax2+bx+c=0（a≠0）的實數根可寫為
的形式，這個式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式。求根公式表達了用配方法解一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的結果。解乙個具體的一元二次方程時，把各係數直接代入求根公式，可以避免配方過程，而直接得出根，這種解一元二次方程的方法叫做公式法。
由求根公式可知，一元二次方程的根不可能多於兩個。
22.2.3 因式分解法
先因式分解使方程化為兩個一次式的乘積等於0的形式，再使這兩個一次式分別等於0，從而實現降次，這種解法叫做因式分解法。
歸納：配方法要先配方，再降次；通過配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一邊為兩個一次因式相乘，另一邊為0，再分別使各一次因式等於0。配方法、公式法適用於所有一元二次方程，因式分解法用於某些一元二次方程。
總之，解一元二次方程的基本思路是：將二次方程化為一次方程，即降次。
22.2.4 一元二次方程的根與係數的關係（韋達定理）
把方程（x－x1）（x－x2）=0的左邊展開，化成一般形式，得方程
x2－（x1+x2）x+x1x2=0
這個方程的二次項係數為1，一次項係數p=－（x1+x2），常數項q= x1x2
於是，上述方程的兩根的和、積分別與係數有如下關係：，
方程的兩個根x1，x2和係數a，b，c有如下關係：
，這表明任何乙個一元二次方程的根與係數的關係為：兩根的和等於一次項係數與二次項係數的比的相反數；兩根的積等於常數項與二次項係數的比。
（若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根為x1，x2，說明其有根，即δ非負（≥0））
（推論1：特別地，若方程x2+px+q=0（a≠0）的兩根為x1，x2，則，
推論2：以兩個數為根的一元二次方程（二次項係數為1）是x2－（x1+x2）x+x1·x2=0
例：以兩個數為根的一元二次方程（二次項係數為1）是x2－（x1+x2）x+x1·x2=0或
（x－x1）（x－x2）=0）
22.3 實際問題與一元二次方程
（注意書上的題型，尤其是**3）
第二十三章旋轉
23.1 圖形的旋轉
把乙個平面圖形繞著平面內某一點o轉動乙個角度，就叫做圖形的旋轉，點o叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角。如果圖形上的點p經過旋轉變為點p』，那麼這兩個點叫做這個旋轉的對應點。
歸納（性質）
對應點到旋轉中心的距離相等。
對應點與旋轉中心所連線段的夾角等於旋轉角。
旋轉前、後的圖形全等。
23.2 中心對稱
23.2.1 中心對稱
把乙個圖形繞著某乙個點旋轉180°，如果它能夠與另乙個圖形重合，那麼就說這兩個圖形關於這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心。這兩個圖形中的對應點叫做關於中心的對稱點。
歸納（性質）
中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經過對稱中心，並且被對稱中心所平分。
中心對稱的兩個圖形是全等圖形。
（關於中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或在同一直線上）且相等。
判定：如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，並且被這一點平分，那麼這兩個圖形關於這一點對稱。）
23.2.2 中心對稱圖形
把乙個圖形繞著某乙個點旋轉180°，如果旋轉後的圖形能夠與原來的圖形重合，那麼這個圖形叫做中心對稱圖形。這個點就是它的對稱中心。
平行四邊形的對稱中心是兩條對角線的交點。
23.2.3 關於原點對稱的點的座標
兩個點關於原點對稱時，它們的座標符號相反，即點p（x，y）關於原點的對稱點p』（－x，－y）
（2、關於x軸對稱的點的特徵
兩個點關於x軸對稱時，它們的座標中，x相等，y的符號相反，即點p（x，y）關於x軸的對稱點為p』（x，-y）
3、關於y軸對稱的點的特徵
兩個點關於y軸對稱時，它們的座標中，y相等，x的符號相反，即點p（x，y）關於y軸的對稱點為p』（-x，y））
23.3 課題學習圖案設計
旋轉對稱性
正多邊形具有一種重要性質——旋轉對稱性
因為正n邊形的n條半徑把正n邊形分成n個全等的等腰三角形，所以，把正n邊形繞著它的中心旋轉的整數倍後所得的正n邊形與原正n邊形重合。我們說，正n邊形關於其中心有的旋轉對稱。一般地，如果乙個圖形繞著某點o旋轉角α後所得的圖形與原圖形重合，則稱此圖形關於點o有角α的旋轉對稱。
如果乙個圖形是中心對稱圖形，則把它繞對稱中心旋轉180°後所得圖形與原來圖形重合，所以，中心對稱圖形關於其對稱中心有180°的旋轉對稱性。
圓關於圓心有任意角的旋轉對稱性。
第二十四章圓
24.1 圓
24.1.1 圓
1、圓的定義
1.（圓的動態定義：）在乙個平面內，線段oa繞它固定的乙個端點o旋轉一周，另乙個端點a所形成的圖形叫做圓，固定的端點o叫做圓心，線段oa叫做半徑。
2.（圓的靜態定義：）圓心為o、半徑為r的圓可以看成是所有到定點o的距離等於定長r的點的集合。
（3.從畫圓的過程可以看出：
（1）圓上各點到定點（圓心o）的距離都等於定長（半徑r）；
（2）到定點的距離等於定長的點都在同乙個圓上。）
2、圓的幾何表示
以點o為圓心的圓記作「⊙o」，讀作「圓o」。
3、弦1.連線圓上任意兩點的線段叫做弦。（如圖中的ab、cd）
2.經過圓心的弦叫做直徑。（如圖中的cd）
（直徑等於半徑的2倍。）
5、弧1.圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。（弧有長度和弧度）
2.（弧用符號「⌒」表示，）以a，b為端點的弧記作「」，讀作「圓弧ab」或「弧ab」。
九上數學月考卷
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