521. 已知邊長為10的正δabc的頂點a在平面α內，頂點b、c在平面α同側，bd為ac邊上的中線，b、c到平面α的距離分別是bb1＝2，cc1＝4
(1)求證：bb1∥平面acc1
(2)求證：bd⊥平面acc1
(3)求四稜錐a—bcc1b1的體積
解析： 本小題考查空間圖形線、面的平行、垂直關係，考查邏輯思維能力和運算能力.
解 (1)∵bb1⊥α，cc1⊥α，∴bb1∥cc1
∵bb1平面acc1，cc1平面acc1，
∴bb1∥平面acc1.
(2)∵
過d點作ac1的垂線dd1，則dd1⊥α.
∵dd1＝cc1＝×4＝2＝bb1，
∴四邊形b1bdd1是矩形
∴b1d1∥bd
∵bd⊥平面acc1
(3)在rtδabd中，bd＝＝＝b1d1
在rtδacc1中，ac1＝＝，鏈結bc1，
則＝+＝××ac1×b1d1×bb1+××ac1×cc1×bd.
∴＝××××2+××××4＝30.
522. 已知正四稜錐的各條稜都是a.
(1)求底面一邊到相對側面的距離；
(2)求證：相鄰兩側面所成二面角等於側面和底面所成二面角的2倍；
(3)求相對兩側面所成二面角的余弦值.
（1）解： 作po⊥底面abcd，垂足是o，取bc、ad、pb的中點f、e、m，鏈結pe、pf、ef、om、mc、ma.
∵ad∥bc，∴ad∥平面pbc，ad到平面pbc的距離就是e點到平面pbc的距離，∵bc⊥平面pef，∴平面pef⊥平面pbc.∴e點到交線pf的距離就是e點到平面pbc的距離d.
∴d·pf＝po·ef,d·a＝a·,∴d＝a.
(2)在δacm中，∵am＝mc＝a,ad＝oc,∴om是∠amc的平分線，又am⊥pb，cm⊥pb，∴∠amc是二面角a—pb—c的平面角，∠ofp是二面角p—bc—ad的平面角.
又∵ao＝po＝a,am＝pf＝a,∴rtδpof≌rtδamo.
∴∠amc＝2∠pfo，∴命題成立.
(3)設相對兩側面pbc、pad的交線是l，∵ad∥bc，∴ad∥平面pbc，∴ad∥l，∵bc⊥平面pef，∴l⊥平面pef，∴∠epf就是所求二面角的平面角.
∴cos∠epf＝＝.
523. 直線a、b是異面直線，a⊥平面α，b⊥平面β，a⊥b，求證：α⊥β.
證明過b上任意一點作直線a′，使a∥a′.∵a⊥b,∴a′⊥b.
設相交直線a′、b確定乙個平面,∩β＝c.∵b⊥β,cβ,∴b⊥c.
在平面內，b⊥c,b⊥a′,∴a′∥c.∴a∥a′∥c.又∵a⊥α,∴c⊥α,cβ，∴β⊥α
524. 在三稜錐s—abc中，∠asb＝∠bsc＝60°，∠asc＝90°，且sa＝sb＝sc，求證：平面asc⊥平面abc.
證明取ac的中點o，連so、bo，由已知，得δsab、δsbc都是正三角形.∴bc＝ab＝a,sa＝sc＝a,又so⊥ac，bo⊥ac，∴∠sob就是二面角s—ac—b的平面角.又∵sa＝ab＝a,sc＝bc＝a,ac＝ac,∴δacs≌δacb.
∴so＝bo＝a.
在δsob中，∵sb＝a,∴∠sob＝90°.
即平面sac⊥平面abc.
另證：過s作so⊥平面abc，垂足是o.∵sa＝sb＝sc，∴s在平面內的射影是δabc的外心，同前面的證明，可知δabc是直角三角形，∴o在斜邊ac上.
又∵平面sac經過so，∴平面sac⊥平面abc
說明證明「面面垂直」的常用方法是根據定義證明平面角是90°，或利用判定定理證明乙個平面經過另乙個平面的垂線.
525. 如圖，四面體abcd的稜bd長為2，其餘各稜的長均是，求：二面角a—bd—c、a—bc—d、b—ac—d的大小.
解析：(1)取bd的中點o，連ao、oc.
在δabd中，∵ab＝ad＝，bd＝2，
∴δabd是等腰直角三角形，ao⊥bd，同理oc⊥bd.
∴∠aoc是二面角a—bd—c的平面角
又ao＝oc＝1，ac＝，
∴∠aoc＝90°.
即二面角a—bd—c為直二面角.
(2)∵二面角a—bd—c是直二面角，ao⊥bd，∴ao⊥平面bcd.
∴δabc在平面bcd內的射影是δboc.
∵sδocb＝,sδabc＝,∴cosθ＝.
即二面角a—bc—d的大小是arccos.
(3)取ac的中點e，連be、de.
∵ab＝bc，ad＝dc，
∴bd⊥ac，de⊥ac，∴∠bed就是二面角的平面角.
在δbde中，be＝de＝，由餘弦定理，得cosα＝-
∴二面角b—ac—d的大小是π-arccos.
評析本例提供了求二面角大小的方法：先作出二面角的平面角，再利用其所在的三角形算出角的三角函式值，或利用面積的射影公式s′＝s·cosθ求得.
526. 如圖所示，在三稜錐s—abc中，sa⊥底面abc，ab⊥bc，de垂直平分sc，且分別交ac、sc於d、e.又sa＝ab，sb＝sc.
求以bd為稜，以bde與bdc為面的二面角的度數.
解法一：由於sb＝bc，且e是sc中點，因此be是等腰三角形sbc的底邊sc的中線，所以sc⊥be.又已知sc⊥de，be∩de＝e，
∴sc⊥平面bde，
∴sc⊥bd，
又∵sa⊥底面abc，bd在底面abc上，
∴sa⊥bd.
而sa∩sc＝s，
所以bd⊥平面sac.
∵de＝平面sac∩平面bde，dc＝平面sac∩平面bdc，
∴bd⊥de，bd⊥dc.
∴∠edc是所求二面角的平面角.
∵sa⊥底面abc，
∴sa⊥ab，sa⊥ac.
設sa＝a,則ab＝a,bc＝sb＝a.
又ab⊥bc，所以ac＝a.在rtδsac中
tg∠acs＝＝，所以∠acs＝30°.
又已知de⊥sc，所以∠edc＝60°，即所求的二面角等於60°.
解法二：由於sb＝bc，且e是sc的中點，因此be是等腰δsbc的底邊sc的中線，所以sc⊥be.又已知sc⊥de，be∩de＝e.
∴sc⊥平面bde，sc⊥bd.
由於sa⊥底面abc，且a是垂足，所以，ac是sc在平面abc上的射影，由三垂線定理的逆定理得bd⊥ac；又e∈sc，ac是sc在平面內的射影，所以e在平面abc內的射影在ac上，由於d∈ac，所以de在平面abc內的射影在ac上，根據三垂線定理得bd⊥de.
∵de平面bde，dc平面bdc.
∴∠edc是所求二面角的平面角.
以下解法同解法一.
527. 在直三稜柱abc—a′b′c′中，∠bac＝90°，ab＝bb′＝1，直線b′c與平面abc成30°的角.(如圖所示)
(1)求點c′到平面ab′c的距離；
(2)求二面角b－b′c—a的余弦值.
解析：(1)∵abc—a′b′c′是直三稜柱，∴a′c′∥ac，ac平面ab′c，∴a′c′∥平面ab′c，於是c′到平面ab′c的距離等於點a′到平面ab′c的距離，作a′m⊥ab′於m.由ac⊥平面ab′a′得平面ab′c⊥平面ab′a′，∴a′m⊥平面ab′c，a′m的長是a′到平面ab′c的距離.
∵ab＝b′b＝1，⊥b′cb＝30°，∴b′c＝2，bc＝，ab′＝，a′m＝＝.
即c′到平面ab′c的距離為；
(2)作an⊥bc於n，則an⊥平面b′bcc′，作nq⊥b′c於q，則aq⊥b′c，∴∠aqn是所求二面角的平面角，an＝＝，aq＝＝1.∴sin∠aqn＝＝,cos∠aqn＝.
說明利用異面直線上兩點間的距離公式，也可以求二面角的大小，如圖，ab＝bb′＝1，∴ab′＝，又∠b′cb＝30°，
∴bc＝,b′c＝2,ac＝.作am⊥b′c於m，bn⊥b′c於n，則am＝1，bn＝，
cn＝，cm＝1，∴mn＝.∵bn⊥b′c,am⊥b′c，∴bn與am所成的角等於二面角b—b′c—a的平面角.設為θ.
由ab2＝am2+bn2+mn2-2am×bn×cosθ得cosθ＝＝.
528. 如圖所示，四稜錐p—abcd的底面是邊長為a的菱形，∠a＝60°，pc⊥平面abcd，pc＝a,e是pa的中點.
(1)求證平面bde⊥平面abcd.
(2)求點e到平面pbc的距離.
(3)求二面角a—eb—d的平面角大小.
解析：(1)設o是ac，bd的交點，鏈結eo.
∵abcd是菱形，∴o是ac、bd的中點，
∵e是pa的中點，∴eo∥pc，又pc⊥平面abcd，
∴eo⊥平面abcd，eo平面bde，∴平面bde⊥平面abcd.
(2)eo∥pc，pc平面pbc，
∴eo∥平面pbc，於是點o到平面pbc的距離等於e到平面pbc的距離.作of⊥bc於f，
∵eo⊥平面abcd，eo∥pc，pc平面pbc，∴平面pbc⊥平面abcd，於是of⊥平面pbc，of的長等於o到平面pbc的距離.
由條件可知，ob＝,of＝×＝a，則點e到平面pbc的距離為a.
(3)過o作og⊥eb於g，連線ag
∵oe⊥ac，bd⊥ac
∴ac⊥平面bde
∴ag⊥eb(三垂線定理)
∴∠ago是二面角a—eb—d的平面角
∵oe＝pc＝a,ob＝a
∴eb＝a.
∴og＝＝a 又ao＝a.
∴tan∠ago＝＝
∴∠ago＝arctan.
評析本題考查了麵麵垂直判定與性質，以及利用其性質求點到面距離，及二面角的求法，三垂線定理及逆定理的應用.
說明處理翻摺問題，只要過不在稜上的點作稜的垂直相交的線段，就可以化成基本題
529. 已知a、b是異面直線，aα,a∥β,bβ,b∥α,求證α∥β.
解析： 證明兩個平面平行通常利用判定定理來證.
證明如圖，過a作任一平面和平面β交於a′,
∵a∥β ∴a∥a′.
又a′β,a′α
∴a′∥α且a′與b相交，
∵bβ，b∥α.
∴α∥β.
另證設c是異面直線a、b的公垂線，則過a、c可以確定乙個平面，設γ∩β＝a′∵a∥β，∴a′∥a,
∵c⊥a,∴c⊥a′又∵c⊥b,a′,b相交，∴c⊥β
同理可證：c⊥α，∴α∥β
530. 已知：平面α∥平面β，且aα，b平面β，a,b為兩條異面直線.
求證：異面直線a、b間的距離等於平面α，β之間的距離.
證：設ab是異面直線a、b的公垂線段，如圖過點b，作直線a′，使a′∥a.
∵α∥β，aβ,
∴a∥β,∴a′β.
∵ab⊥a,∴ab⊥a′
又ab⊥b，且a′∩b＝b.
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