山西省原平市第一中學任所懷
三角形的垂心定理：在三角形abc中，求證：它的三條高交於一點。
證明：如圖：作be於點e，cf⊥ab於點f，且be交cf於點h，連線ah並延長交bc於點d。現在我們只要證明ad⊥bc即可。
因為cf⊥ab，be
所以四邊形bfec為圓內接四邊形。
四邊形afhe為圓內接四邊形。
所以∠fah=∠feh=∠feb=∠fcb
由∠fah=∠fcb得
四邊形afdc為圓內接四邊形
所以∠afc=∠adc=90°
即ad⊥bc。
點評：以上證明主要應用了平面幾何中的四點共圓的判定與性質。
三角形垂心的性質定理1：
銳角三角形的垂心是以三個垂足為頂點的三角形的內心。
如上圖，在三角形abc中，ad、cf、be分別為bc、ab、ac上的高，d、f、e分別為垂足，h為三角形abc的垂心。求證：h為三角形dfe的內心。
證明：要證h為三角形dfe的內心，只需證明hf、he、hd分別平分∠dfe、∠fed、∠edf。
同樣我們還是利用四點共圓的判定與性質來證明。
由bcef四點共圓得∠efc=∠ebc （都是弧ce所對的圓周角）
由hfbd四點共圓得∠hfd=∠hbd=∠ebc （都是弧hd所對的圓周角）
所以∠efh=∠hfd 所以 hf平分∠efd。
同理 he平分∠fed；hd平分∠fde
所以h為三角形dfe的內心。
點評：以上兩個問題都用到了四點共圓。因為在這個圖形中共可得到6個圓內接四邊形，你不妨找一找。
三角形垂心的向量表示：
在中，若點o滿足，則點o為三角形abc的垂心。
證明：由得，所以。
同理ob，，則點o為垂心。
三角形垂心性質定理2：
若三角形的三個頂點都在函式的圖象上，則它的垂心也在這個函式圖象上。
證明：設點o(x,y)為的垂心，則上面的向量表示得
因為的三個頂點都在函式的圖象上，所以設，
因為，所以
所以所以 (1)
同理：由得 (2)
聯立（1）（2）兩式，就可解出
顯然有垂心o在函式的圖象上。
點評：此題恰當地應用了垂心的向量表示，把幾何問題轉化成了代數問題，完美體現了數形結合的數學思想。
（2023年全國一捲理科）的外接圓的圓心為o，兩條邊上的高的交點為h，，則實數m =
分析：h顯然為的垂心，我們可取特殊情況來猜想m的值。於是我取為直角三角形，角a為直角，此時h點與a點重合，且o為bc的中點（如圖所示）。此時，於是猜想m=1.
而對於一般情況，上面問題，我們不妨稱之為三角形的垂心性質定理3：
的外心為o，垂心為h，則。
證明：作出的外接圓和外接圓直徑ad，連線bd,cd。
因為直徑所對圓周角為直角，所以有，
因為h為的垂心，所以
所以hc//bd，bh//dc,所以四邊形bdch為平行四邊形，所以。
因為，且
所以。點評：這條性質聯絡了三角形的外心與垂心，所得向量關係也相當簡潔。以此為背景出高考題，也確實體現了命題者深厚的知識功底。
三角形垂心性質定理3：
三角形任一頂點到垂心的距離，等於外心到對邊的距離的2倍。
即：的外心為o，垂心為h，d為bc中點，則ah=2od。
證明：因為d為bc中點
所以由性質2知：得
所以ah=2od。
點評：性質定理3，也可看做是性質定理2的推論。
三角形垂心性質定理4：
銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等於其內切圓與外接圓半徑之和的2倍。
分析：應用上面的性質定理3，上面這一結論可改為
銳角三角形的外接圓與內切圓徑之和等於外心到三角形三邊距離之和。
即：如圖在銳角中，o為外心，d,e,f分別為三邊的中點。設外接圓半徑為r，內切圓半徑為r,則od+oe+of=r+r.
證明：在銳角中，o為外心，d,e,f分別為三邊的中點，則of，，
所以有=
設中角a,b,c所對邊的長分別為a,b,c.
在圓o中，弧ab所對的圓心角=2c
又因oa=ob，of，所以
of=oa*cosc=rcosc。
同理od=r*cosb, oe=r*cosa
所以而由三角形內切圓的性質知：
所以 這個式子就指出了內切圓半徑與外接圓半徑的關係。
而要證od+oe+of=r+r，
需證：rcosa+rcosb+rcosc=r+
即需證需證(b+c)cosa+(a+c)cosb+(a+b)cosc=a+b+c
而對上式的證明我們可採用正弦定理，化角為邊，
即需證：
需證：sin(a+b)+sin(a+c)+sin(b+c)=sina+sinb+sinc
而因為a+b+c= 所以sin(a+b)+sin(a+c)+sin(b+c)=sina+sinb+sinc顯然成立
所以命題得證。
點評：此題的證明充分聯絡我們初高中的大量知識，真是做到了「八方聯絡，渾然一體」（孫維剛老師語）。通過這樣的乙個問題，我們的數學能力將大大提高。
三角形垂心性質定理5：
h、a、b、c四點中任一點是其餘三點為頂點的三角形的垂心(並稱這樣的四點為一—垂心組)。
此定理的證明相對簡單，讀者不妨自已試試。在此提出這個性質，主要是看到這裡存在的一種廣義對稱性，即四個點中每一點都可為垂心。這個結論進一步提醒我們要經常換個角度相問題。
三角形垂心性質定理6：
h為△abc的垂心，則 △abc，△abh，△bch，△ach的外接圓是等圓。
分析：要證兩圓為等圓，只要證明它們的半徑（或直徑）相等就可以啦。而這兩圓都是三角形的外接圓，於是我們就想到了正弦定理。
的直徑為，的直徑為，
因為hd，
所以四邊形behd是圓內接四邊形
所以 所以sinb=sin
所以=所以，的外接圓為等圓。
同理△abc，△abh，△bch，△ach的外接圓是等圓。
證明略。
點評：該題的證明過程中，應用到了性質1中的圓內接四邊形性質和正弦定理。這也正是在提示我們要注意八方聯絡。
以上我對與三角形垂心有關的性質做了一些總結，當然也難免還有其它性質，我還沒有發現。我寫文章的目的，也就是在於啟發讀者經常進行總結，在總結中我們才會有新的發現和創新。
三角形垂心的性質總結
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