一．摘要3
前言3二、泰勒公式極其極其證明3
（一）帶有皮亞諾型餘項的泰勒公式………………3
（二）帶有拉格朗日型餘項的泰勒公式……………4
（三）帶有柯西型餘項的泰勒公式…………………5
（四）積分型泰勒公式6
（五）二元函式的泰勒公式7
三、 泰勒公式的若干應用8
（一）利用泰勒公式求極限8
（二）利用泰勒公式求高階導數……………………9
（三）利用泰勒公式判斷斂散性……………………10
（四）利用泰勒公式證明中值定理…………………12
（五）利用泰勒公式證明不等式……………………13
（六）利用泰勒公式求近似和值誤差估計……………15
（七）利用泰勒公式研究函式的極值…………………16
四、 我對泰勒公式的認識16
參考文獻17
英文翻譯17
公式的證明及應用
【摘要】數學中的著名的公式都是一古典的數學問題，它們在數學，化學與物理領域都有很廣泛的運用。在現代數學中公式有著重要地位，它對計算極限，斂散性的判斷，不等式的證明、中值問題及高階導的計算以及近似值的計算等方面都有很大的作用。在本文中，我將談到關於公式的幾種形式及其證明方法並對以上幾個方面進一步的運用，和我對幾者之間的一些聯絡和差異的看法。
並通過具體事例進行具體的說明相關運用方法
【關鍵詞】泰勒公式佩亞諾餘項拉格朗日餘項極限級數
1、常見公式定義及其證明
我們通常所見的公式有皮亞諾型、拉格朗日型、柯西型與積分型，還有常用的二元函式的公式和高階函式的公式。
定義：設函式存在n階導數，由這些導數構成n次多項式，稱為函式在該點處的泰勒多項式各項係數稱為泰勒係數。
1.1首先是帶皮亞諾型餘項的公式：
若函式在點存在且有階導數，則有即
2)其中是由這些導數構造的乙個次多項式， （3）
稱為函式在點處的多項式，的各項係數稱為係數。從上易知與其多項式在點有相同的函式值和相同的直至階導數值，即
4）證明：設，，
現在只要證
由關係式（4）可知，
並易知 ，
因為存在，所以在點的某鄰域內存在階導函式。於是，當且時，允許接連使用洛必達法則次， 得到
稱為公式的餘項，形如的餘項稱為佩亞諾型餘項，所以（2）式又稱為帶有皮亞諾型餘項的公式。
1.2 其次是帶有拉格朗日型餘項的公式：
若函式在上存在直至階的連續導函式，在內存在階導函式，則對任意給定的， ，至少存在一點，使得
（1）證明：作輔助函式
所需證明的（1）式即為
或不妨設，則與在上連續，在內可導，且，
又因，所以由柯西中值定理證得
其中。它的餘項為
，稱為拉格朗日餘項。所以（1）式又稱為帶有拉格朗日型餘項的公式。
1.3 柯西型公式：
若函式在上存在直至階的連續導函式，在內存在階導函式，則對任意給定的， ，使得
（5）證明：作輔助函式
應用柯西中值定理可得，存在，使得
令即可得到（5）式。
1.4 積分型公式：
如果函式在含有的某個開區間內具有直到的導數, 則當x 在內時,可表示為的乙個次多項式與乙個餘項之和:
其中證明：由公式得：
即……從而有……其中
1.5 二元函式的公式：
若函式在點的某鄰域內有直到階的連續偏導數，則對內的任一點，存在相應的，使得
（6）（6）式稱為二元函式在點的階公式，其中
證明：作輔助函式
由定理的假設，一元函式在上滿足一元函式定理條件，於是有
7）應用復合函式求導法則，可求得的各階導數：
當時，則有
8）及 （9）
將（8），（9）式代入（7）式就得到了公式（6）。
2 、公式的應用： 求極限、求高階導數、判斷斂散性、證明中值定理、證明不等式、求近似值和誤差估計、研究函式極值
2.1 求極限
例1、求極限
解： 又，將用公式展開 則
2.2 求高階導數
例2、設，求。
分析：這道題若直接求高階導數比較困難，因此我們考慮在處的麥克勞林展開式。
解：又在處的麥克勞林展開式為
（１１）
比較（１０），（１１）中的係數可得，
，由展開的唯一性，並有公式的各項係數則可得到高階導數，即。
在高階倒數的求解中能更加直接的借助公式的特殊形式更快更直接的對其進行展開，再對展開的各項進行最基本的導數求解使計算更加的簡潔方便。
2．3 判斷斂散性
例3、討論級數，的斂散性。
解： 於是當時，級數收斂，當時，級數發散。
例4、設在點的某一鄰域內有二階連續導數，且，證明級數絕對收斂。
分析：由條件中的在點的某一鄰域內有二階連續導數可知使用公式，再由可得出關係，這使得在點處的展開式更簡單，便於利用比較判別法判斷收斂。
解：由及在點的某一鄰域內有二階連續導數可得出，，將在點的某一鄰域內展開成一階公式，，，又由題中在屬於某鄰域內含點的乙個小閉區間連續，因此存在，使，於是，令，則。
因為收斂，所以絕對收斂。
例5、判斷廣義積分的斂散性。
分析：在判斷廣義積分收斂性時，通常選取廣義積分進行比較，在此通過研究無窮小量的階來有效地選擇中的值，從而判定的斂散性。我們要注意到如果
收斂，則也收斂。而在這道題中，由於，所以是瑕點，由比較判別法可知，，
，若時，收斂；時，發散。
解： 從而有。因為發散，所以發散，因此原積分發散。
例6、討論無窮積分的斂散性。
解： 選取，因為，而，
由無窮積分的斂散性判別定理知收斂。
對於公式在判斷數學積分問題中收斂性起到的作用通過以上例子有了具體的說明。數學中的斂散性根據不同的積分形式有不同的方法判斷，而公式在很多的積分都有其運用其主要原因就是其能使得式子在經過展開後變成簡單的式子更加直觀方便的計算。
2.4 證明中值定理
例7、設函式在上三階可導。證明存在一點，使得
證明：設存在乙個常數，使得
令則。由定理可知，至少存在一點，使得。即
將在展開為公式有
，，比較得， 則。
2.5 利用證明不等式
2.5.1證明積分不等式
例8、設是上的連續正值函式，且，，證：。
證明：將在點展開為一階展式
2.5.2 證明導數不等式
例9、設函式在上二次可微，且，，試證存在一點使。
分析：函式在上二次可微，且最小值，所以在內一定存在極值點，該點的導數為，題中可知二次可微，我們可以想到展式，並且是在最小值點處展開。
解：不妨設在為在上的最小值點，則，，
在處的展開得：
，是介於與之間的某個數，
當時，，即
當時，，即。
所以，當時，
當時，。
終上所述，存在一點使。
利用公式證明函式不等式步驟：
(1)、構造乙個函式，選乙個展開點，然後寫出在處的帶有拉格朗日餘項的公式；那麼我們該選擇哪個點處展開呢？函式在乙個區間性質常常可由區間中的一些特殊點來反映，如端點、分點、零點、極值點、最值點、拐點等。此外，區間中的任意點也是分析函式性質不可或缺的點，運用時，就是將這些點中導數資訊相對較充分的點選作展開中心。
（2）根據所給的最高端導數的大小，函式的界或三角形不等式對進行放縮。
2.6 求近似值誤差估計
例10、計算的值，使其誤差不超過。
解：由公式得
故，當時，便有
略去求得的近似解為
2.7 研究函式的極值
例11、 求函式f(x,y)=x4+y4-x2-2xy-y2的極值．
解 fx(x,y)=4x3-2x-2y=0，fy(x,y)=4y3-2x-2y=0，
得駐點（1，1），（-1，-1），（0，0）。
判斷：求二階偏導
fxx(x,y)=12x2-2, fxy(x,y)=-2, fyy(x,y)=12y2-2，
在點（1，1）處，
a=fxx(1,1)=10, b=fxy(1,1)=-2，c=fyy(1,1)=10．
因b2—ac<0，且a>0， 故f(1,1)= -2為極小值．
類似可得f(-1,-1)= -2為極小值．
在點（0，0）處，a=b=c= -2，b2-ac=0，
此時應用極值定義判斷f(0,0)=0是否為極值．
對足夠小的正數，有
f(，0)=2（2-1）<0, f(，-)=24>0
這說明在點（0，0）的任一鄰域內，既有函式值大於
f(0,0)的點，又有函式值小於f(0，0)的點，故
f(0，0)非極值.
3. 我對公式的認識
3.1公式的幾種形式在前面的證明和運用中我對其進行了具體的單獨運用。現在我來討論下這幾種形式中的一些特點。
首先帶拉格朗日餘項的泰勒公式才需要函式n+1階可導，而帶皮亞羅餘項的泰勒公式只需要函式n階可導。這就說明了兩者在具體的運用上存在著必然的聯絡和差異，兩者在在數學中的可以把lagrange餘項看做peano餘項的進一步發展，但前提是lagrange餘項此時的可導條件更加的嚴格。因此這兩者在學習是可以相互結合學習，和運用。
3.2 在學習了冪級數之後我們對公式的更深一步的了解認識到在將函式展成冪級數時就是在n->∞，從而導致在不確定因素得以消除，而公式也變成了精確的冪級數等式。但前提的考慮冪級數的收斂域等問題。
證明泰勒公式
泰勒中值定理 若函式f x 在開區間 a，b 有直到n 1階的導數，則當函式在此區間內時，可以展開為乙個關於 x x.多項式和乙個餘項的和 f x f x.f x.x x.f x.2 x x.2,f x.3 x x.3 f n x.n x x.n rn 其中rn f n 1 n 1 x x.n 1 ...
泰勒公式的應用超強總結
泰勒公式有廣泛的應用，極限的計算 不等式的證明 近似計算和誤差估計，它是考研的一大熱點 但是近年考研大綱已經將 近似計算和誤差估計 的有關要求全部刪除了，現在只剩下極限計算和不等式證明了 數學三 四對此是沒有要求的，但是令人不可思議的是，數學三卻對泰勒級數是有要求的 在需要用到泰勒公式時，必須要搞清...
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