特徵方程法求解遞推關係中的數列通項
考慮乙個簡單的線性遞推問題.
設已知數列的項滿足，其中求這個數列的通項公式.
採用數學歸納法可以求解這一問題，然而這樣做太過繁瑣，而且在猜想通項公式中容易出錯，本文提出一種易於被學生掌握的解法——特徵方程法：針對問題中的遞推關係式作出乙個方程稱之為特徵方程；借助這個特徵方程的根快速求解通項公式.下面以定理形式進行闡述.
定理1.設上述遞推關係式的特徵方程的根為，則當時，為常數列，即，其中是以為公比的等比數列，即.
證明：因為由特徵方程得作換元
則當時，，數列是以為公比的等比數列，故
當時，，為0數列，故（證畢）
下面列舉兩例，說明定理1的應用.
例1．已知數列滿足：求
解：作方程
當時，數列是以為公比的等比數列.於是
例2．已知數列滿足遞推關係：其中為虛數單位.
當取何值時，數列是常數數列？
解：作方程則
要使為常數，即則必須
現在考慮乙個分式遞推問題（*）.
例3．已知數列滿足性質：對於且求的通項公式.
將這問題一般化，應用特徵方程法求解，有下述結果.
定理2.如果數列滿足下列條件：已知的值且對於，都有（其中p、q、r、h均為常數，且），那麼，可作特徵方程.
（1）當特徵方程有兩個相同的根（稱作特徵根）時，
若則若，則其中特別地，當存在使時，無窮數列不存在.
（2）當特徵方程有兩個相異的根、（稱作特徵根）時，則，其中
證明：先證明定理的第（1）部分.
作交換則
①∵是特徵方程的根，∴
將該式代入①式得 ②
將代入特徵方程可整理得這與已知條件矛盾.故特徵方程的根於是
當，即=時，由②式得故
當即時，由②、③兩式可得此時可對②式作如下變化：
④由是方程的兩個相同的根可以求得
∴將此式代入④式得
令則故數列是以為公差的等差數列.∴其中
當時，當存在使時，無意義.故此時，無窮數列是不存在的.
再證明定理的第（2）部分如下：
∵特徵方程有兩個相異的根、，∴其中必有乙個特徵根不等於，不妨令於是可作變換
故，將代入再整理得
⑤由第（1）部分的證明過程知不是特徵方程的根，故
故所以由⑤式可得：
⑥∵特徵方程有兩個相異根、方程有兩個相異根、，而方程與方程又是同解方程.
∴將上兩式代入⑥式得
當即時，數列是等比數列，公比為.此時對於都有
當即時，上式也成立.
由且可知
所以(證畢)
注:當時,會退化為常數;當時,可化歸為較易解的遞推關係,在此不再贅述.
現在求解前述例3的分類遞推問題.
解:依定理作特徵方程變形得其根為故特徵方程有兩個相異的根，使用定理2的第（2）部分，則有∴∴
即例4．已知數列滿足：對於都有
（1）若求（2）若求（3）若求（4）當取哪些值時，無窮數列不存在？
解：作特徵方程
變形得特徵方程有兩個相同的特徵根依定理2的第（1）部分解答.
（1）∵對於都有
（2）∵
∴令，得.故數列從第5項開始都不存在，
當≤4，時，.
（3）∵∴
∴令則∴對於
∴（4）顯然當時，數列從第2項開始便不存在.由本題的第（1）小題的解答過程知，時，數列是存在的，當時，則有令則得且≥2.
∴當（其中且n≥2）時，數列從第項開始便不存在.
於是知：當在集合或且≥2}上取值時，無窮數列都不存在。
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